[Daimayuan] pSort（C++，强连通分量）

最新推荐文章于 2025-01-09 01:03:14 发布

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#c++ #算法 #开发语言 #强连通分量

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给定一个初始序列，每一步可以交换满足特定距离限制的元素。目标是检查是否能通过这些交换使序列与给定的目标序列相同。解决方案涉及到构建无向图并寻找强连通分量，使用广度优先搜索染色法来标记不同分量，然后判断所有元素是否在同一分量中。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

有一个由 $n$ 个元素组成的序列 $a_1,a_2,…,a_n$ ；最初，序列中的每个元素满足 $a_i=i$ 。

对于每次操作，你可以交换序列中第 $i$ 个元素和第 $j$ 个元素当且仅当满足 $i−j|=d_i$ 。

题目给出序列 $b_1,b_2,…,b_n$ 和 $d_1,d_2,…,d_n$ ，询问是否可以通过若干次交换，使得序列 $a$ 和序列 $b$ 完全相同。

输入格式

第 $1$ 行一个正整数 $n$ ，含义如上。

第 $2$ 行 $n$ 个正整数表示 $b_1,b_2,…,b_n$ 。

第 $3$ 行 $n$ 个正整数表示 $d_1,d_2,…,d_n$ 。

输出格式

若能，输出 YES；否则输出 NO。

输入 #1

7
4 2 5 1 3 7 6
4 6 6 1 6 6 1

输出 #1

YES

输入 #2

7
4 3 5 1 2 7 6
4 6 6 1 6 6 1

输出 #2

NO

数据范围

$1≤n,d_i≤100$ 。保证序列 $b$ 中元素不重复。

补充说明

原题：CF28B pSort | 洛谷

解题思路

对于题意的理解如下：

if (abs(i - j) == d[i] || abs(i - j) == d[j]) {
	/* i,j是可交换的 */
}

那么我们可以把 $a$ 序列抽象为一张无向图，可交换关系为无向边。

则强连通分量之内的节点可以随意交换。

也就是说，如果需要交换所有节点都在同一个强连通分量之中，就输出YES；

反之，如果需要交换的任意一对节点不在一个强连通分量中，就输出NO。

接下来实现代码：

我们采用染色法标记不同的强连通分量，用广度优先搜索对整张图进行染色，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

void bfs(int bg) {
	color++;
	q.push(bg);

	int head, next, i;
	while (!q.empty()) {
		head = q.front();
		q.pop();

		if (book[head]) continue;
		book[head] = true;
		colors[head] = color;

		for (i = 1; i <= n; i++) {
			if (i == head) continue;
			next = abs(head - i);
			if (next == ds[head] || next == ds[i]) q.push(i);
		}
	}
}

我们需要遍历每一个节点进行尝试，所以算法总时间复杂度为 $O(n^3)$ ，可以接受。

for (i = 1; i <= n; i++) {
	if (!colors[i]) bfs(i);
}

最后，AC代码如下：

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cmath>
using namespace std;
const int max_n = 100;

int bs[max_n], ds[max_n];
int colors[max_n], color = 0;
queue<int>q;
int book[max_n];
int n;

void bfs(int bg) {
	color++;
	q.push(bg);

	int head, next, i;
	while (!q.empty()) {
		head = q.front();
		q.pop();

		if (book[head]) continue;
		book[head] = true;
		colors[head] = color;

		for (i = 1; i <= n; i++) {
			if (i == head) continue;
			next = abs(head - i);
			if (next == ds[head] || next == ds[i]) q.push(i);
		}
	}
}

int main() {
	cin >> n;
	int i;
	for (i = 1; i <= n; i++) cin >> bs[i];
	for (i = 1; i <= n; i++) cin >> ds[i];
	for (i = 1; i <= n; i++) {
		if (!colors[i]) bfs(i);
	}

	for (i = 1; i <= n; i++) {
		if (colors[bs[i]] != colors[i]) {
			cout << "NO" << endl;
			return 0;
		}
	}
	cout << "YES" << endl;
	return 0;
}