[Daimayuan] 重建（C++，Floyd）

$B$ 地区在地震过后，所有村庄都造成了一定的损毁，而这场地震却没对公路造成什么影响。但是在村庄重建好之前，所有与未重建完成的村庄的公路均无法通车。换句话说，只有连接着两个重建完成的村庄的公路才能通车，只能到达重建完成的村庄。

给出 $B$ 地区的村庄数 $N$（村庄编号从 $0$ 到 $N-1$）和所有 $M$ 条公路的长度，公路是双向的。并给出第 $i$ 个村庄重建完成的时间 $t_i$，你可以认为是同时开始重建并在第 $t_i$ 天重建完成，并在当天即可通车。若 $t_i$ 为 $0$ 则说明地震未对此地区造成损坏，一开始就可以通车。之后有 $Q$ 个询问 $(x,y,t)$，对于每个询问你要回答在第 $t$ 天，从村庄 $x$ 到村庄 $y$ 的最短路径长度为多少。如果经过若干个已重建完成的村庄，无法找到从$x$ 村庄到 $y$ 村庄的路径，或者村庄 $x$ 或村庄 $y$ 在第 $t$ 天仍未重建完成，则需要返回 $-1$。

输入格式

第一行包含两个正整数 $N,M$，表示了村庄的数目与公路的数量。

第二行包含 $N$ 个非负整数 $t_0,t_1,...,t_{N-1}$，表示了每个村庄重建完成的时间。数据保证了 $t_0\le t_1\le ...\le t_{N-1}$。

接下来 $M$ 行，每行 $3$ 个非负整数 $i,j,w$，$w$ 为不超过 $10000$ 的正整数，表示了有一条连接村庄 $i$ 与村庄 $j$ 的道路，长度为 $w$。保证 $i\ne j$，且对于任意一对村庄只会存在一条道路。

接下来一行也就是 $M+3$ 行包含一个正整数 $Q$，表示 $Q$ 个询问。

接下来 $Q$ 行，每行 $3$ 个非负整数 $x,y,t$，询问在第 $t$ 天，从村庄 $x$ 到村庄 $y$ 的最短路径长度为多少，数据保证了 $t$ 是不下降的。

输出格式

共 $Q$ 行，对每一个询问 $(x,y,t)$ 输出对应的答案，即在第 $t$ 天，从村庄 $x$ 到村庄 $y$ 的最短路径长度为多少。如果在第 $t$ 天无法找到从 $x$ 村庄到 $y$ 村庄的路径，或者村庄 $x$ 或村庄 $y$ 在第 $t$ 天仍未修复完成，则输出 $-1$。

数据范围

$N\le 200，M\le N\times (N-1)/2，Q\le 50000$，所有输入数据涉及整数均不超过 $100000$。

输入样例

4 5
1 2 3 4
0 2 1
2 3 1
3 1 2
2 1 4
0 3 5
4
2 0 2
0 1 2
0 1 3
0 1 4

输出样例

-1
-1
5
4

解题思路

如果没有天数限制，应该是一道多源最短路问题，可以采用Floyd算法解决。

但是现在多了一个重建时间限制，所以最短路无法一次性全部得到。

那么尝试简单的对每一次询问跑单源最短路（Dijkstra），时间复杂度为$O((N+M)\ast logN\ast Q)$，必然$TLE$。

于是考虑优化。

题目中给了两个条件：

1）对于村庄重建时间，保证从$0$~$n-1$单调不减；

2）保证输入的$t$是单调不减的。

如何利用这两个条件进行优化呢？

我们先来看一下Floyd算法：

for (int k = 0; k < n; k++) {//遍历节点
    //尝试在每一条路径中添加节点，以求更新最短路径
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			dists[i][j] = min(dists[i][j], dists[i][k] + dists[k][j]);	
		}
	}
}

注意到我们的核心思想是遍历每一个节点，尝试把它添加到一条路径中，以求更新最短路径。

那么我们就可以根据日期的变化，动态的添加节点：

while (times[k] <= t) {//先判断是否重建完成，然后遍历节点
    //尝试在每一条路径中添加节点，以求更新最短路径
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int j = 0; j < n; j++) {
            dists[i][j] = min(dists[i][j], dists[i][k] + dists[k][j]);	
        }
	}
	k++;
}

我们的回复查询的代码段如下：

while (q--) {
	cin >> u >> v >> t;
	while (k <= n && times[k] <= t) {//先判断是否重建完成，然后遍历节点
		//尝试在每一条路径中添加节点，以求更新最短路径
		for (i = 0; i < n; i++) {
			for (j = 0; j < n; j++) {
				dists[i][j] = min(dists[i][j], dists[i][k] + dists[k][j]);
			}
		}
		k++;
	}
	if (k <= u || k <= v || dists[u][v] == NaN) cout << -1 << endl;
	else cout << dists[u][v] << endl;
}

最后可能存在一个疑问：如何确保$u,v$路径上的村庄均已经重建完成？

逻辑证明如下：

起初，dists中存储的路径都是直接相连路径，路径上没有其他村庄。

路径上出现村庄的原因是我们用Floyd算法尝试在两点之间添加第三个点。

而我们添加的节点均为已经修建完的。

综上所述，$u,v$路径上的村庄均已重建完成。

最后，AC代码如下：

#include <iostream>
#include <string.h>
using namespace std;
const int max_n = 200;
const int max_m = max_n * (max_n - 1) / 2;
const int max_q = 50000;
const int max_t = 100000;
const int max_w = 100000;
const long long NaN = 0x3F3F3F3F3F3F3F3F;

long long dists[max_n][max_n];
int times[max_n];

void add_edge(int u, int v, int w) {
	dists[u][v] = dists[v][u] = w;
}

int main() {
	memset(dists, 0x3F, sizeof(long long) * max_n * max_n);
	int n, m, q;
	int u, v, w, t;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < n; i++) cin >> times[i];
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		cin >> u >> v >> w;
		add_edge(u, v, w);
	}
	cin >> q;
	int i, j, k = 0;
	while (q--) {
		cin >> u >> v >> t;
		while (k <= n && times[k] <= t) {//先判断是否重建完成，然后遍历节点
			//尝试在每一条路径中添加节点，以求更新最短路径
			for (i = 0; i < n; i++) {
				for (j = 0; j < n; j++) {
					dists[i][j] = min(dists[i][j], dists[i][k] + dists[k][j]);
				}
			}
			k++;
		}
		if (k <= u || k <= v || dists[u][v] == NaN) cout << -1 << endl;
		else cout << dists[u][v] << endl;
	}
	return 0;
}