一道01背包问题的变式

题目

新学期伊始，适逢顿顿书城有购书满 x元包邮的活动，小 P 同学欣然前往准备买些参考书。

一番浏览后，小 P 初步筛选出 n 本书加入购物车中，其中第 i 本（1≤i≤n）的价格为 ai 元。

考虑到预算有限，在最终付款前小 P 决定再从购物车中删去几本书（也可以不删），使得剩余图书的价格总和 m 在满足包邮条件（m≥x）的前提下最小。

试帮助小 P 计算，最终选购哪些书可以在凑够 x 元包邮的前提下花费最小？

输入格式

输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 n 和 x，分别表示购物车中图书数量和包邮条件。

接下来输入 n 行，其中第 i 行（1≤i≤n）仅包含一个正整数 ai，表示购物车中第 i 本书的价格。

输入数据保证 n 本书的价格总和不小于 x。

输出格式

仅输出一个正整数，表示在满足包邮条件下的最小花费。

数据范围

70% 的测试数据满足：n≤15；

全部的测试数据满足：n≤30，每本书的价格 ai≤10^4 且 x≤a1+a2+⋯+an。

输入样例1：

4 100
20
90
60
60

输出样例1：

110

样例1解释

购买前两本书 (20+90)(20+90) 即可包邮且花费最小。

输入样例2：

3 30
15
40
30

输出样例2：

30

样例2解释

仅购买第三本书恰好可以满足包邮条件。

输入样例3：

2 90
50
50

输出样例3：

100

样例3解释

必须全部购买才能包邮。

题解

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[30];
int g[300010];

int main() {
    int n,price,sum=0;
    cin >> n >> price;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i]; sum += a[i];
    }
    int rest = sum - price;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = rest; j >= a[i]; j--)
            g[j] = max(a[i] + g[j - a[i]], g[j]);
    }
    cout << sum - g[rest];


}

总结

01背包问题是求有限空间内的最大价值，这道题转化成超出全部书本价格之和的能剩余的钱的最大值，进而转化成01背包问题。此时，钱既作为体积，也作为价值。