动态规划算法之斐波那契数列问题（C++实现）

本文实现一个动态规划（Dynamic Programming）的算法案例，解决经典的斐波那契数列问题。

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问题描述

斐波那契数列的定义如下：

• F(0) = 0
• F(1) = 1
• F(n) = F(n-1) + F(n-2)（当 n >= 2 时）

给定一个整数 n，计算斐波那契数列的第 n 项。

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C++代码实现

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

// 动态规划实现斐波那契数列
int fibonacci(int n) {
    if (n <= 1) return n; // 边界条件

    vector<int> dp(n + 1); // 动态规划表
    dp[0] = 0; // 初始化
    dp[1] = 1;

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 状态转移方程
    }

    return dp[n]; // 返回结果
}

int main() {
    int n = 10; // 计算第10项
    cout << "斐波那契数列的第 " << n << " 项是: " << fibonacci(n) << endl;
    return 0;
}

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关键解析

1. 动态规划思想：
   • 将问题分解为子问题，通过存储子问题的解避免重复计算。
2. 状态转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
3. 时间复杂度：O(n)，只需遍历一次。
4. 空间复杂度：O(n)，使用了一个数组存储中间结果。
5. 优化空间复杂度：
   • 如果只关心最终结果，可以用两个变量代替数组，将空间复杂度优化为 O(1)。

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优化版本（空间复杂度 O(1)）

int fibonacciOptimized(int n) {
    if (n <= 1) return n;

    int prev1 = 0, prev2 = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        int current = prev1 + prev2;
        prev1 = prev2;
        prev2 = current;
    }
    return prev2;
}

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输出示例

斐波那契数列的第 10 项是: 55  

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应用场景

• 计算斐波那契数列
• 解决其他具有重叠子问题的动态规划问题（如背包问题、最长公共子序列等）