利用梯度下降法进行多变量线性回归

使用梯度下降法进行多变量线性回归是一种常见的优化方法，用于找到最小化预测误差（通常是均方误差）的参数。在多变量线性回归中，我们有多个特征（或变量）用于预测目标变量。

以下是使用梯度下降法进行多变量线性回归的基本步骤：

1.定义模型：

多变量线性回归模型可以表示为：

hθ​(x)=θ0​+θ1​x1​+θ2​x2​+…+θn​xn​

其中，x1​,x2​,…,xn​ 是特征，θ0​,θ1​,…,θn​ 是要学习的参数（包括截距项 θ0​）。

2.定义损失函数：

对于回归问题，我们通常使用均方误差（MSE）作为损失函数：

J(θ)=2m1​i=1∑m​(hθ​(x(i))−y(i))2

其中，m 是训练样本的数量，x(i) 是第 i 个样本的特征向量，y(i) 是对应的真实值。

3.初始化参数：

随机初始化参数 θ0​,θ1​,…,θn​。

4.进行梯度下降：

在每一步迭代中，更新参数以减小损失函数的值。对于每个参数 θj​，更新规则如下：

θj​:=θj​−α∂θj​∂​J(θ)

其中，α 是学习率，控制参数更新的步长。

对于均方误差损失函数，∂θj​∂​J(θ) 的具体表达式为：

∂θj​∂​J(θ)=m1​i=1∑m​(hθ​(x(i))−y(i))xj(i)​

因此，梯度下降更新规则变为