高斯消元法

高斯消元（by wyx）

引入

高斯消元法（Gauss–Jordan elimination）是求解线性方程组的经典算法，它在当代数学中有着重要的地位和价值，是线性代数课程教学的重要组成部分。

高斯消元法除了用于线性方程组求解外，还可以用于行列式计算、求矩阵的逆，以及其他计算机和工程方面。

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正题

前置知识：解方程组

比如说现在有一个方程组：

$$\{\begin{array}{l}4x+3y=10\\ 2x+5y=12\end{array}$$

第一步，将第一个方程 $\times$ 2 可得 $4x+10y=24$

然后把第二个方程与第一个方程相减得 $7y=14$

这个时候，我们可以直接得出 $y=2$

然后把 $y=2$ 代入到第一个方程中得 $4x+6=10$

可以得出 $x=1$

$\therefore$ 方程的解是

$$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}$$

高斯消元

上述得方法是解方程组得基本方法，即代入消元和加减消元。

这个方法得通用性很强，而高斯消元就是这两种方法得应用。

下面举一个例子

$$\{\begin{array}{l}6x_1+8x_2+4x_3=22\\ 3x_1+2x_2+12x_3=29\\ 2x_1+4x_2+6x_3=18\end{array}$$

把上面得方程组转化为矩阵是

$$\left[\begin{array}{ccccc}6& 8& 4& |& 22\\ 3& 2& 12& |& 29\\ 2& 4& 6& |& 18\end{array}\right]$$

矩阵左边表示每一项得系数，右边表示结果。

首先，我们可以通过第一行消掉第二行和第三行得第一项

具体的，就是说先把第二行 $\times$ $2$ ，然后和第一行减法消元，第三行也是一样的做法，先 $\times$ $3$ 再减法消元。

然后，我们就得到了一个新的矩阵

$$\left[\begin{array}{ccccc}6& 8& 4& |& 22\\ 0& -4& 20& |& 36\\ 0& 4& 14& |& 32\end{array}\right]$$

这个时候，发现只有第一行含有 $x_1$ 这一项，同时我们也处理完了第一条方程，之后就先不管它。

接着我们用相同得办法解决 $x_2$ 这一项。

把第三行 $\times$ $(-1)$ ，再和第二行做减法消元得

$$\left[\begin{array}{ccccc}6& 8& 4& |& 22\\ 0& -4& 20& |& 36\\ 0& 0& -34& |& -68\end{array}\right]$$

关键

这个时候，把矩阵重新转化为方程组得到

$$\{\begin{array}{l}6x_1+8x_2+4x_3=22\\ -4x_2+20x_3=36\\ -34x_3=-68\end{array}$$

根据第三条方程可得 $x_3=2$

接着把 $x_3=2$ 代入上面一条方程中得 $-4x_2+40=36$

解得 $x_2=1$

然后把 $x_2$ , $x_3$ 一起代入第一条方程中

解得 $x_1=1$

$\therefore$ 方程的解是

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=1\\ x_2=1\\ x_3=2\end{array}$$

总结方法

首先，先把方程变成一个矩阵

$$\left[\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& \dots & a_{1,n}& |& a_{1,n+1}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& \dots & a_{2,n}& |& a_{2,n+1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& |& ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& a_{n,3}& \dots & a_{n,n}& |& a_{n,n+1}\end{array}\right]$$

然后，我们把它变成上三角矩阵，即

$$\left[\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}^{\prime }& a_{1,2}^{\prime }& a_{1,3}^{\prime }& \dots & a_{1,n}^{\prime }& |& a_{1,n+1}^{\prime }\\ 0& a_{2,2}^{\prime }& a_{2,3}^{\prime }& \dots & a_{2,n}^{\prime }& |& a_{2,n+1}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& |& ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & a_{n,n}^{\prime }& |& a_{n,n+1}^{\prime }\end{array}\right]$$

接着，我们可以从下往上依次求解每个未知数。

判断无解或有无数解

前置知识 含参方程

对于一个一元一次方程

$ax=b$

• 当 $a\ne 0$ 时，方程有唯一解。

• 当 $a=0$ 且 $b=0$ 时，方程有无数个解。

• 当 $a=0$ 且 $b\ne 0$ 时，方程无解。

把上面三条性质扩展到高斯消元中。

如果有一行在消元后左边的系数全变成了 $0$

• 当右边的结果等于 $0$ 时，方程有无数个解。

• 当右边的结果不等于 $0$ 时，方程无解。

切记，无解的优先级高于有无数个解。

例题

P3389 【模板】高斯消元法

P2455 [SDOI2006] 线性方程组

P2447 [SDOI2010] 外星千足虫

[ABC366G] XOR Neighbors