青蛙跳台阶

 目录

 1.一只青蛙一次可以跳1级或2级台阶。求当台阶数为n时青蛙有多少种跳法？

• 递归的方法
• 动态规划的方法

2.一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级... ...它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？

3.一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级... ...它也可以跳上m级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少中跳法？

 【问题1】一只青蛙一次可以跳1级或2级台阶。求当台阶数为n时青蛙有多少种跳法？

台阶的数量为n

当n=1时，青蛙有一种跳法，即跳1级台阶，记f(1)=1

当n=2时，青蛙有两种跳法，即跳两次1级台阶或跳一次2级台阶，记f(2)=2

当n=3时，青蛙有三种跳法，青蛙可以先跳2级台阶再跳1级台阶，也可以先跳1级台阶再跳2级台阶，或者是跳三次1级台阶。记f(3)=f(2)+f(1)

同理，当n=4时，青蛙有五种跳法，记f(4)=f(3)+f(2)

... ...

要跳上第n级台阶，总共有f(n)=f(n-1)+f(n-2) （n>2）种跳法，即要么从第n-1级台阶跳一级上来，要么从第n-2级台阶跳两级上来

规律类似于斐波拉契(Fibonacci)数列

 只不过有一点不同的是，Fibonacci数列一般是以1，1，2，3，5，8，13... ...开始的；而我们这是以1，2，3，5，8，13... ...开始的，少了最前面的一个1

递归的方法

//递归
 
int Fact(int n){
    if (n > 2)
        return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
    else
        return n;
}

要跳上第6级台阶，即f(6)，其计算过程如下：

 很明显，递归会重复计算已经计算过的值，效率不高，所以新建一个长度为n的数组，用于存储f(0)~f(n)的值，重复遇到某数字时直接从数组取用，避免了递归的重复计算

#include <stdio.h>

long int f[1000] = {0};

int jump(int n) {
	if (n == 1) {
		f[1] = 1;
		return f[1];
	}

	if (n == 0) {
		f[0] = 1;
		return f[0];
	}

	if (n == 2) {
		f[2] = 2;
		return f[2];
	} else {
		if (f[n - 1] != 0) {
			if (f[n - 2] != 0) {
				return (f[n - 1] + f[n - 2]);
			} else {
				f[n - 2] = jump(n - 2);
				return (f[n - 1] + f[n - 2]);
			}
		} else {
			if (f[n - 2] != 0) {
				f[n - 1] = jump(n - 1);
				return (f[n - 1] + f[n - 2]);
			} else {
				f[n - 1] = jump(n - 1);
				f[n - 2] = jump(n - 2);
				return (f[n - 1] + f[n - 2]);
			}
		}
	}
}

int main() {
	int num = 0;
	printf("请输入一个台阶数: ");
	scanf("%d", &num);

	int ret = jump(num);

	printf("小青蛙有 %d种 跳法", ret);
	return 0;
}

 动态规划的方法

青蛙每次只能跳1级台阶或2级台阶，那么它跳到第n级台阶就有两种情况，要么从第n-1级台阶跳一级上来，要么从第n-2级台阶跳两级上来。依次类推，只要保留跳到n-1和n-2的情况就可以算出跳到n的次数

#include <stdio.h>

int jump(int n) {
	//n=0、1、2的时候,直接返回n即可
	if (n < 3) {
		return n;
	}

	//第一个数为1
	int one = 1;

	//第二个数为2
	int two = 2;

	//用于存放前两个数之和
	int sum = 0;
	while (n > 2) {
		sum = one + two;
		one = two;
		two = sum;

		n--;
	}
	return sum;
}

int main() {
	int num = 0;
	printf("请输入一个台阶数: ");
	scanf("%d", &num);

	int ret = jump(num);

	printf("小青蛙有 %d种 跳法", ret);
	return 0;
}

【问题2】 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级... ...它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少中跳法？

一只青蛙要想跳到n级台阶，可以从任何一级跳到n级

 台阶数量为n

当n=1时，f(1)=1

当n=2时，f(2)=1+1=2

当n=3时，f(3)=f(1)+f(2)+1=4

当n=4时，f(4)=f(1)+f(2)+f(3)+1=8

当n=5时，f(5)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+1=16

由递推公式得：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+... ...+f(2)+f(1)+f(0),最后的f(0)可以去掉，因为0级相当于没跳，所以f(0)=0

所以，f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+... ...+f(2)+f(1)   1️⃣

又因为f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+... ...+f(2)+f(1)           2️⃣

由1️⃣-2️⃣得：f(n)=2f(n-1)

代码实现：递归方法

int jump(int n) {
	if (n == 1) {
		return 1;
	} else {
		return 2 * jump(n - 1);
	}
}

 非递归方法

f(1)=1=2º

f(2)=1+f(1)=2=2¹

f(3)=1+f(2)+f(1)=4=2²

f(4)=1+f(3)+f(2)+f(1)=8=2³

... ...

f(n)=2⁽ⁿ⁻¹⁾；

int jump(int n)
{
    if (n == 1)
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return 1 << (n-1);
    }
}

【问题3】 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级... ...它也可以跳上m级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少中跳法？

 这道题要进行分类讨论：

①如果n<=m，因为只能往上跳不能往下跳，所以大于n的都不可以跳，如果跳了就直接超过了，只能跳小于等于n的数字

②如果n>m，我们要想跳到n级台阶，我们可以从n-1级跳一步上来，或者从n-2级跳两步上来……，或者从n-m级跳m步上来，所以我们可以找出递归公式

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-m)；

进一步可以推出：

f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-m) + f(n-m-1)；

化简结果为：

f(n) = 2f(n-1) - f(n-m-1)    (n>m)；

int jump(int m,int n)
{  
 if (n > m)
 {  
  return 2 * jump(m, n - 1) - jump(m, n - m - 1);
 }
 else
 {  
  if (n == 0 || n == 1 || n == 2)
  {
   return n;
  }
  else
  {
   return 2 * jump(m, n - 1);
  }
 }
}