素数(素数判定 , 素数筛 , 唯一分解定理 , 约数定理)

• 素数的定义
  指在大于1的自然数中，除了1和它自身之外，不能被任何其他自然数整除的数 叫做质数；否则称为合数
  （0和1，既不是素数，也不是合数）

素数判定

//暴力法

boolean isPrime(int n){
    for(int i=2;i<n;i++){
        if(n%i==0){
            return false;        
        }    
    }
    return true;
}

//试除法（暴力法的优化）
//i遍历到n.sqrt()即可判断n是否为素数
/*
可以通过反证法证明：
假设遍历到n.sqrt()仍然无法判断n是否为素数，
则存在自然数a，b；使得n=a*b
同时a，b中必有一数大于n.sqrt()；那么另一数一定小于n.sqrt()
较小的数一定会在n.sqrt()前被遍历到。
与假设矛盾
*/
/*
为什么写为i<=n/i    ——->假设i是n的因子，那么n/i也是n的因子
故而可以枚举到i<=n/i
*/
boolean isPrime(int n){
    for(int i=2;i<=n/i;i++){
        if(n%i==0){
            return false;        
        }    
    }
    return true;
}

素数筛（埃氏筛）

理解：素数的倍数一定是合数
基本思路：给定范围n，从2开始，将每个素数的倍数标记为合数。那么一个数没有被之前的数标记，它一定是素数

public class PrimeSieve {
    public static void main(String[] args) {
        int n = 100; // 要筛选的范围
        boolean[] isPrime = new boolean[n + 1];
        Arrays.fill(isPrime, true);
        isPrime[0] = isPrime[1] = false;

        for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
            if (isPrime[i]) {
                for (int j = i * i; j <= n; j += i) {
                    isPrime[j] = false;
                }
            }
        }

        System.out.println("小于等于" + n + "的素数有：");
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            if (isPrime[i]) {
                System.out.print(i + " ");
            }
        }
    }
}

唯一分解定理

任何一个大于1的整数n都可以分解成若干个素因数的连乘积，如果不计各个素因数的顺序，那么这种分解是唯一的

• 唯一分解定理公式：（某个质因子（p）的个数）
  

• 举个例子更容易理解：

    eg.求n！中 5的个数--》也就是求n！中末尾为0的个数
  

代码如下：

public static int check(int n) {
        int count = 0;
        while (n > 0) {
            n /= 5;
            count += n;
        }
        return count;
    }

不是求n！中5的个数吗？为什么传参只传了n？
因为在计算n！时，是求123*…*n。也就是统计1到n中所有数的因子5的个数之和
在计算n！中因子5的个数时，一些数会贡献因子5
而n中包含了这些数贡献的因子5
所以计算n！中5的个数的总和，其实就是n中包含5的个数

例如：
15/5 = 3	//15！中就包含了3个5
25/5 = 5 ； 5/5 =1  sum=5+1--->//25！中就有6个5

蓝桥真题：求阶乘

问题描述：满足N！的末尾恰好有K个0的最小N是多少？如果不存在这样的N 输出-1

//还是有超时的可能
import java.util.*;
public class Main{
	public static void main(String[] args) {
		Scanner scan = new Scanner(System.in);
		long k = scan.nextLong();
		//有k个0，就是有k个5
		long l = 1L;
		long r = Long.MAX_VALUE;
		//二分法
		while(l<r) {
			long mid = (l+r)/2;
			if(check(mid) >= k) r = mid;
			else if(check(mid)<k) l = mid+1;
		}
		if(check(r) == k) {
			
			System.out.println(r);
		}else {
			System.out.println(-1);
		}
	}
	
	public static long check(long mid) {
		long count = 0;
		//计算n中有多少个5--->唯一分解定理的质因子个数公式---》n!中有多少个5
		while(mid!=0) {
			count+=mid/5;
			mid = mid/5;
		}
		return count;
	}
}

eg. 100=2*2*5*5
c++
/**
 * 功能：分解质数因数
 * @param x 待分解的数字
 * @param a 分解后的数组
 * @return 数组的最后一个元素下标
 */
int Decomposition(int x, int a[]) {
    int cnt = 0;
    for (int i = 2; i <= x / i; i++)
        while (x % i == 0) {
            x /= i;
            a[++cnt] = i;
        }
    if (x > 1)a[++cnt] = x;
    return cnt;
}

const int N = 110;
int a[N];

//用法：
int cnt = Decomposition(12, a);
for (int i = 1; i <= cnt; i++) cout << a[i] << " ";

约数定理

n可以分解质因数：n=p1^a1*p2a2*…*pk^ak （pk是素数 ak是pk的指数）
则，p1^a1 的约数有：p1^0,p11,….,p1^a1，共（a1+1）个
同理，p2^a2 的约数有（a2+1）个….pk^ak约数个数有（ak+1）个

参考资料

• 【约数定理（约数个数定理，约束和定理） - 优快云 App】https://blog.youkuaiyun.com/piaocoder/article/details/47954385?utm_source=app&app_version=6.3.0
• 【大整数分解——Pollard Rho算法 - 优快云 App】http://t.csdnimg.cn/ID2BFv