原码、反码、补码的理解

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分类专栏：微机原理文章标签：笔记补码机器数

于 2024-10-23 23:50:44 首次发布

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本文主要论述了计算机中原码、补码、反码等相关知识点、及其应用与计算。仅个人理解，如有错误，望诸位指正于评论区。

KR

先在这里提前写下结论，以方便于以后查阅，尚未了解原码、补码等可跳过这部分。

真值：数值的大小，包括符号
机器数(二进制数形式，包括原码、反码、补码、)：
- 原码：正数符号位0，负数符号位1，数值按权展开。8位范围：-127D ~ 127D
- 反码：正数的反码与原码一致，负数的反码是，仅将原码的数值位置取反。8位范围：-127D ~ 127D
- 补码：正数与原码相同，负数的补码是，反码加1。8位范围：-128D ~ 127D
补码计算：
- 二进制：正不变，负取反加一。
- 十进制：正不变，负数总范围量减去数值，即2^n - xxx
- 十六进制：十进制转十六进制即可。（负数也可以用全F减，再加一）

前储认知

首先，我们需要了解一件事：计算机是电子设备，只认识0与1，不认识我们人类所用的汉语、英文、涂鸦等。

可以设想，电的信号有两个状态，你可以理解成路的“开”与“关”，电位的“高”与“低”等，我们就可以用0与1表示这两个状态。所以电子设备就有了属于自己的“语言”描述它们的认知。

但是只有0与1两个状态是远远不足以描述很多信息的，所以我们需要很多的0与1不同排列，这样就可以描述更多的信息。
位：0与1不能共存，一个位只能放一个状态。（这可不能用薛定谔的猫来解释）。
历史上的常见的计算机位数有8位、16位、32位、64位，现代计算机大多采用的64位。至于为什么没有12位？15位？这个暂时先不管。。。

这样一来，1位，可以描述2个“情形”。2位则可以描述2*2=4个情形，以此类推8位则可以描述2^8，即256个“状态”。
字节Byte：我们将8位记作一个字节。
字Word：我们将16位记作一个字，显然，1个字的占位等于2个字节的占位。
我们点到为止。

这样一来，通过对8位0与1的排列，这256个状态，用来描述英文的26个大小写字母、阿拉伯数字等绰绰有余，而汉字可能有3万多个，所以需要扩充位数，常见的位数中，至少扩充到 16位方可满足要求，所以你可以这样记，一个字等于16位。（仅仅是提供了一种记忆方法）

计算机，顾名思义，它的一生都在计算。所以，接下来，我们暂时只关注与思考“数字”与“运算”。

二进制

既然计算机只能通过0与1描述这个世界，所以计算机的计数方式是二进制，逢2进一位，而我们人类生来有10个手指，所以计数方式是十进制，逢10进一位。
计算机的字节长度为8位，所以我们一般将二进制前面补充0，直到满足8位，例如：十进制的6，表示为0000 0110。

十进制到二进制

数字的起点都是从0开始，我们的数字0到9，则可以在二进制中逐一增加排序依次对应，即从000到1001，这根据进制换算，可以很容易理解，至于进制如何换算，可以百度一下，或者我有时间了也总结一下。

真值与机器码

纯数字，计算机可以用二进制表示了，但事实上，我们使用的数字是有正负号的，例如+2，-2.
如果只是无符号的、单独的数字2，用十进制表述为2 D，用二进制表示为：0000 0010 B（这里的D与B用于区分进制，D是十进制的后缀，B代表二进制，为了看清数字，我留了间隔）。
但是-2呢？难不成是-0010 B？这对于人类是可以理解的，但是对于计算机，其中一个位要么是0要么是1，不会出现负号-的，因此，我们约定，最前面的正负号单独占据一位，用 0 与 1 表示，所以-2D = 1000 0010B
真值： -000 0010B 这种
机器码：1000 0010B这种，首位的0代表正号，1代表负号。

将代表正负号的位，放在纯数字形成的二进制码的最左边（即，最高位），称作 符号位。

为什么讨论0？

本文的案例中，无论是二进制表示、还是计算结果，我都选择了0这个数字。
第一，0 的正负不影响结果，因此，在原码与反码的表示中，0都有两种方式表述。
第二，任何两个数相加的结果，都可以拆解成 “0加上某一个数”。而减法计算中，0的结果很容易引发歧义，因此，解决了0的结果，那么和的结果也就顺利成章的解决了。

正文

原码

按我们的正常思维，符号位+数值位就组成了原码。
原码： 符号位 + 二进制的数值
例如：
0000 0111 表示 ＋7
1000 0110 表示 -6
……
这没什么问题，很和谐，每个数字都有对应的一个编码，除了0：
0000 0000表示 0,
1000 0000表示 0。
这样的话，0具有两种表述情况了，还是分正负的，表面上看去没什么问题，0的正负也的确还是0，如果单单只考虑数字数据在计算机中的存储，这没什么问题。
不过，我们还需要考虑到数字的运算。

加法运算

为了实现数字的计算，所以我们需要进行最简单的加减运算，而实现计算机的减法，涉及到借位，这处理起来比较麻烦，显然，通过加上一个负数实现减法，将减法转变成加法运算，就会使问题简单化了。所以，计算机中二进制的减法运算，就是与负数的加法运算。

不过，举一个很简单的例子，如果计算(+2)＋(-2)：

0000 0010 ：+2
1000 0010 ：- 2
1000 0100 ：- 4

这里出现了问题，结果并不等于0。
所以，，，

反码

如何让上述的结果正确？
我们看到，符号还没有影响结果，但在数值位上，出现了问题。如果这是两个正数相加，例如：2+2在数值上，结果将4，这没问题；所以问题点在于减数，又或者说，问题出现在运算的时候负数的表述上。

反码： 无论正负，符号位不变。对于数值位，正数与原码表示相同，负数的数值位取反。

如果像这样进行编码，正数＋负数，结果则为负数（符号位为1），
这样，再次进行计算(+2)＋(-2)：

0000 0010 ：[+2]反
1111 1101 ：[- 2]反
1111 1111 ：[-0]反

这样的反码表示，正数我们很容易理解，也可以直观计算得出十进制数+2。但是对于负数，因为数值位取反，所以我们需要再取反，反推出负数的十进制结果，这会很让人头痛。

你可能会说：
”我们只在运算的时候进行反码处理，计算结果依旧采用原码进行存储”，这样计算的结果就是：

1000 0000: [-0]原

这样，既保证了加减运算不会出错，结果又很符合本来的思维习惯，这看起来似乎没什么问题啊。
但我们仔细思考，0有两种表示，如果计算0+1呢？这会出现两种情况。

+0-1 的计算：

运算过程：
0000 0000： [+0]反
0000 0001：[+1]反
0000 0001： [+1]反
结果存储：
0000 0001： [+1]原

-0+1 的计算：

运算过程：
1111 1111： [-0]反
0000 0001： [+1]反
0000 0000： [+0]反
结果存储：
0000 0000： [+0]原

这出现了两个结果，使用 ＋0 的运算结果是正确的，使用-0的结果反而缺少了1。
上述问题的结果出错也不难理解，从反码的表示上看，+0可以由-0进一位得到，所以使用-0计算的结果会比正确的结果少1。

我们在测试一下，计算0-1呢？
+0-1的计算：

运算过程：
0000 0000：[+0]反
1111 1110：[-1]反
1111 1110：[-1]反
1000 0001：[-1]原

-0-1的计算：

1111 1111：[-0]反
1111 1110：[-1]反
0000 0001：[+1]反
0000 0001：[+1]原

对比一下，发现使用+0计算是不会出现问题的，所以，无论是在运算还是存储中，0都只使用 +0的形态是不会出现问题的，而-0的意义并不大。
但是，我们不可避免的会遇到运算结果为-0的形态，那该这个-0该怎么办？我们需要对其重新约定。

补码

刚才已经了解到-0的反码进一位便是+0，按照这个思路，针对-0取反码的结果，再加一，就会变成+0的形态，这样就可以继续用于运算与存储了。
这样一来，加法的结果为-0，则自动进一位。我们回忆一下，什么样的运算会导致加法的结果为-0？如果在计算过程中提前进一位，结果是否也就是+0了？
在进行计算(+2)＋(-2)的时候，

0000 0010 ：[+2]反
1111 1101 ：[- 2]反
1111 1111 ：[-0]反
结果为-0

这只是个例，对于任何相反数这个结果，都是等价的。我们以这个算式作为例子，权衡一下两个方案的利弊。
首先+0的编码不动它，因为我们的目的就是为了让-0变成+0，即0000 0000依旧表示0。
如果对+2的反码进一位，相应的，背后的意思是对所有的正数都进一位,最小的正数本来的0000 0001就会留空，0000 0002则表示1 。

当然，如果非要保证连贯性，那么对+0也重新定义为0000 0001，-0
也将定义为0000 0000，这还是没有消去0存在两种表示这件事。

而如果对-2的反码进一位，相应的，意味着所有的负数都进一位，整个范围内的编码没有留空，并且正数的原有表示也不会改变。这很合乎常规思路。
所以，
补码： 正数的补码与原码一致；负数的补码是该数的反码加1。
所以。补码的规则就解决了反码的漏洞，这样一来，任何两个数的加法都不会出现问题了。（当然，运算结果在范围之内，不考虑溢出的情况）
回想刚才的问题，设想一下，如果运算与存储采用两种方案，运算时用补码，存储时采用原码，这看起来似乎两全其美，因为通过原码我们可以更容易计算出人类熟悉的十进制，而运算的过程我们交给计算机无需过多关注。
但是为什么计算机的存储与运算都采用统一的补码的方案？
斯以为，有这些理由：
第一，使用两种方案，是否意味着计算需要多走两步？（即原码到补码，补码返回原码），这会增加计算时长，影响了计算效率。如果每一次计算都这样，累加起来的亿万次运算将会浪费更久。
第二，我们熟悉的终究是十进制，为了保证可读性，电脑呈现给我们的也只能是十进制，因此我们无需自己去将那些机器码换算成十进制，背后的换算交给计算机即可，这就无所谓编码的形态了。

～最后，为了统一约定，干脆对所有的数都进行统一的编码方案，即补码。