研究契机
本学期学校开设数据结构课程，研究了一下中国邮路问题，以供自己复习参考。
中国邮路问题
中国邮路问题是中国学者于20世纪50年代提出的一种典型的组合优化问题，后在国际上被称为中国邮路问题(Chinese postman problem)。已知图G=(V，E)，对于每条边e∈E，有距离d(e)，从G的某节点出发，走过G的所有边(允许重复穿过)，回到原出发点，使其总行程最短，这个问题是P问题。
中国邮路问题内容：
邮递员的工作是每天在邮局里选出邮件，然后送到他所管辖的客户中，再返回邮局。自然地，若他要完成当天的投递任务，则他必须要走过他所投递邮件的每一条街道至少一次。找出怎样的走法使他的投递总行程为最短。
解题实践
算法的设计思想为：随机选取点添边，同时构建并查集检验图的连通性，若生成的图非连通则添边，若仍不满足条件，则重新构建直到满足条件。将符合要求的图写入文件。通过Floyd算法获得距离数组和路径数组，用于后续匹配和查找。获得奇点下标以及奇点个数，用状压dp进行最小权匹配，获得奇点对。在原图中添加边消除奇点获得欧拉图，用DFS找到一条欧拉回路。在欧拉回路中，完善不直接相连奇点的路径，获得实际路径。获取点的坐标，固定邮局A点，根据结点个数确定权值，判断两点间距离，如果太小则重新选取，最终得到分布均匀的图。
部分代码
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <graphics.h>
#include <iostream>
#include <string>
#define INF 65535 //定义无穷大
#define MaxVerNum 100 //定义最大顶点个数
typedef struct point elementType; //定义图中顶点的数据类型
typedef double cellType; //定义邻接矩阵中元素的数据类型
bool visited[MaxVerNum+1]; //全局数组，标记顶点是否已经访问，visited[0]单元不用
bool path[MaxVerNum+1][MaxVerNum+1];//全局数组，标记顶点之间是否有路径，path[0][] path[][0]不用
struct point
{
double x;
double y;
}; //存储点的信息
typedef struct GraphAdjMatrix
{
cellType AdjMatrix[MaxVerNum+1][MaxVerNum+1]; //邻接矩阵，数组下标为0单元不用，从AdjMatrix[1][1]单元开始
elementType Pt[MaxVerNum+1]; //顶点数组，存放各点的x,y坐标,pt[0]不用
int VerNum; //顶点数
} Graph; //图的类型名
double dst(struct point p,struct point q);
struct point mid(struct point p,struct point q);
void input(Graph &G);
void arrange(Graph &G);
void output(Graph &G);
//功能：用户交互输入计算机数目，x,y坐标，并存储到图中
void input(Graph &G)
{
int i=0;
int j=0;
int n;
printf("Input the number of the computer:\n");
scanf("%d",&n);
printf("input the x,y coordinate!\n");
G.VerNum = n;
//循环输入存储xy坐标
while(i<n)
{
double t1,t2;
scanf("%lf%lf",&t1,&t2);
G.Pt[i+1].x=t1;
G.Pt[i+1].y=t2;
i++;
}
//将点的信息保存在图中
for (i=0;i<n;i++)
for (j=0;j<n;j++)
{
if(i==j)
G.AdjMatrix[i+1][j+1]=INF;//自己与自己的距离设置为无穷大
else
G.AdjMatrix[i+1][j+1]=dst(G.Pt[i+1],G.Pt[j+1]);
}
}
//功能：计算使电缆长度最短的连接方案，存储在path[][]中
void arrange(Graph &G)
{
int i,j,n;
double min=INF;
int p1=0;
int p2=0;
n=G.VerNum;
//第一次循环 找出距离最短的两个点
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{
if(G.AdjMatrix[i+1][j+1]<min)
{
min=G.AdjMatrix[i+1][j+1];
if(i==p2 && j==p1)//重复跳过，例如第一个点到第二个点和第二个点到第一个点是相同的
continue;
p1=i;
p2=j;
}
}
path[p1+1][p2+1]=true;
path[p2+1][p1+1]=true;
visited[p1+1]=true;
visited[p2+1]=true;
int k;
//找出剩余n-2个点的连接方式
for(j=0;j<n-2;j++)
{
bool flag=false;
min=INF;
//找与p1距离最近的点
for(i=0;i<n;i++)
{
if(G.AdjMatrix[p1+1][i+1]<min && !path[p1+1][i+1] && !visited[i+1])
{
min=G.AdjMatrix[p1+1][i+1];
k=i;
}
}
//找与p2距离最近的点
for(i=0;i<n;i++)
{
if(G.AdjMatrix[p2+1][i+1]<min && !path[p2+1][i+1] && !visited[i+1])
{
min=G.AdjMatrix[p2+1][i+1];
k=i;
flag=true;//表示距离p2比p1近
}
}
visited[k+1]=true;
if(flag)
{
path[p2+1][k+1]=true;
path[k+1][p2+1]=true;
p2=k;
}
else
{
path[p1+1][k+1]=true;
path[k+1][p1+1]=true;
p1=k;
}
}
}
//功能：输出输出使电缆长度最短的连接方案，以图形化界面显示
void output(Graph &G)
{
int n=G.VerNum;
initgraph(640,480);//初始化窗体
double sum=0;
char str[20] = "" ;
struct point m;
setfillcolor(RED);// 设置填充颜色
setcolor(WHITE);//设置颜色
for(int i=0;i<n;i++)
{
sprintf(str,"(%.f,%.f)",G.Pt[i+1].x,G.Pt[i+1].y);
fillcircle(G.Pt[i+1].x*20,400-G.Pt[i+1].y*20,3);
outtextxy(G.Pt[i+1].x*20,400-G.Pt[i+1].y*20,str);//输出点的文本信息
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(path[i+1][j+1])
{
line(G.Pt[i+1].x*20,400-G.Pt[i+1].y*20,G.Pt[j+1].x*20,400-G.Pt[j+1].y*20);//绘制线
m = mid(G.Pt[i+1],G.Pt[j+1]);
sprintf(str,"%.2fft",G.AdjMatrix[i+1][j+1]);
outtextxy(m.x*20,400-m.y*20,str);//输出线的文本信息
path[j+1][i+1]=false;
sum+=G.AdjMatrix[i+1][j+1]+16;
printf("+（%.2f + 16.00）",G.AdjMatrix[i+1][j+1]);
}
}
}
sprintf(str,"sum=%.2lf",sum);
outtextxy(320,10,str);//输出总长
printf("=%.2lf\n",sum);
system("pause");
}
//功能：计算并返回两点距离
double dst(struct point p,struct point q)
{
double d=(p.x-q.x)*(p.x-q.x)+(p.y-q.y)*(p.y-q.y);
return sqrt(d);
}
//功能：计算并返回两点中点
struct point mid(struct point p,struct point q)
{
struct point m;
m.x = (p.x + q.x)/2.;
m.y = (p.y + q.y)/2.;
return m;
}
调试过程
在算法实现规程中，对于递归形式的算法，要注意考虑递归的层次，确保结果正确。在最开始研究的过程中由于我没有弄清最小权匹配算法的定义，陷入了困难，最后发现有边连接的奇点也可以添边。关于保存路径，因为要完善最终路径，所以需要能够添加结点的数据结构，选择链表可以在一定程度上简化问题。
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