数据结构学习笔记

最新推荐文章于 2025-07-21 22:47:01 发布

小杨学习日志

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文章标签：数据结构算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_64412253/article/details/144298284

……接上文

树Tree

7.1 特性

7.1.1什么是树

树(Tree)是(n>=0)个节点的有限集合T，它满足两个条件：

(1) 有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点。

其余的节点可以分为m（m≥0）个互不相交的有限集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合又是一棵树，并称为其根的子树（Subtree）。

树的特性：层次关系，一对多，每一个节点最多有一个前驱，但是可以有多个后继(根节点无前驱，叶节点无后继)

关于树的节点：和链表类似，树存储结构中也将存储的各个元素称为 "节点"。

7.1.2 关于树的术语

度数：一个节点的子树的个数（一个节点有几个孩子为该节点度数）
树度数：树中节点的最大度数
叶节点或终端节点: 度数为零的节点
分支节点：度数不为零的节点（A B C D E H）
内部节点：除根节点以外的分支节点（去掉根和叶子）
节点层次: 根节点的层次为1，根节点子树的根为第2层，以此类推
树的深度或高度: 树中所有节点层次的最大值

例子：

7.2 二叉树

最多只有俩孩子的树，并且分为左孩子和右孩子。

7.2.1 什么是二叉树

二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个节点的有限集合，它或者是空集（n＝0），或者是由一个根节点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树与普通有序树不同，二叉树严格区分左孩子和右孩子，即使只有一个子节点也要区分左右。

7.2.2 二叉树性质(重点)

二叉树第k（k>=1）层上的节点最多为2的k-1次幂个。//2(k-1)
深度为k（k>=1）的二叉树最多有2的k次幂-1个节点。//满二叉树的时候

做多的节点数 2k-1

在任意一棵二叉树中，树叶的数目比度数为2的节点的数目多一。

设度数为0的节点数为n0，度数为1的节点数为n1以及度数为2的节点数为n2，则：

总节点数为各类节点之和：n = n0 + n1 + n2

总节点数为所有子节点数加一：n = 1*n1 + 2*n2 + 1

(总节点数 n = 所有的孩子数 + 根节点数1)

0 = n2+1-n0

下面式子减上面得：n0 = n2 + 1

度数0的n0：度数为0 那么度数为0节点的子节点共有 0 个子节点

度数1的n1：度数为1 那么度数为1节点的子节点共有 n1 个子节点

度数2的n2：度数为2 那么度数为2节点的子节点共有 2*n2 子节点

7.2.3 满二叉树和完全二叉树

满二叉树: 深度为k（k>=1）时节点数为2^k - 1(2的k次幂-1)

完全二叉树: 只有最下面两层有度数小于2的节点，且最下面一层的叶节点集中在最左边的若干位置上。(先挂树的左边向右, 从上向下挂)

下面两个图不能称为完全二叉树

7.2.4 二叉树的存储结构

二叉树的顺序存储结构

顺序存储结构：完全二叉树节点的编号方法是从上到下，从左到右，根节点为1号节点。设完全二叉树的节点数为n，某节点编号为i

当i>1（不是根节点）时，有父节点，其父节点编号为i/2;
当2*i<=n时，有左孩子，其编号为2*i ,否则没有左孩子，本身是叶节点;
当2*i+1<=n时，有右孩子，其编号为2*i+1 ,否则没有右孩子；

有n个节点的完全二叉树可以用有n+1 个元素的数组进行顺序存储，节点号和数组下标一一对应，下标为零的元素不用。

利用以上特性，可以从下标获得节点的逻辑关系。不完全二叉树通过添加虚节点构成完全二叉树，然后用数组存储，

这要浪费一些存储空间。

二叉树的遍历(重点)

前序：根左右

中序：左根右

后序：左右根

练习：

已知遍历结果如下，试画出对应的二叉树。

前序： A B C E H F I J D G K

中序： A H E C I F J B D K G

提示：用前序确定根节点，然后用中序找到根节点然后再找左右子。

7.2.5 二叉树的链式存储

用链表实现，基于完全二叉树规律来构建树，按照完全二叉树的编号方法，从上到下，从左到右。

第n个节点：

左子节点编号： 2 * n

右子节点编号： 2 * n + 1

可以根据左右节点编号来判断是否对二叉树构建完成

typedef struct tree_node_t
{
    int data;                   //数据域
    struct tree_node_t *lchild; //左子
    struct tree_node_t *rchild; //右子
} bitree_node_t, * bitree_node_p;

创建二叉树

//创建二叉树，用递归函数创建。
bitree_node_p CreateBitree(int n, int i) //i根节点的编号，n：节点数
{
    bitree_node_p p = (bitree_node_p)malloc(sizeof(bitree_node_t));
    if(p == NULL)
    {
        perror("bitree_node_t CreateBitree r malloc err");
        return NULL;
    }
    p->data = i;
    if(2*i <= n)
        p->lchild = CreateBitree(n, 2 * i);
    else
        p->lchild = NULL;

    if(2*i+1 <= n)
        p->rchild = CreateBitree(n, 2 * i + 1);
    else
        p->rchild = NULL;

    return p;
}

前序

// 前序
void PreOrder(bitree_node_p p)
{
    while (p == NULL)
        return;
    printf("%d ", p->data); // 根
    if (p->lchild != NULL)
        PreOrder(p->lchild); // 左
    if (p->rchild != NULL)
        PreOrder(p->rchild); // 右
}

中序

// 中序
void InOrder(bitree_node_p p)
{
    while (p == NULL)
        return;
    if (p->lchild != NULL)
        InOrder(p->lchild); // 左

    printf("%d ", p->data); // 根

    if (p->rchild != NULL)
        InOrder(p->rchild); // 右
}

后序

// 后序
void PostOrder(bitree_node_p p)
{
    while (p == NULL)
        return;
    if (p->lchild != NULL)
        PostOrder(p->lchild); // 左
    if (p->rchild != NULL)
        PostOrder(p->rchild); // 右
    printf("%d ", p->data);  // 根
}

main.c

int main(int argc, char const *argv[])
{
    bitree_node_p p = CreateBitree(7, 1);
    printf("前序遍历");
    PreOrder(p);
    printf("\n");
    printf("中序遍历");
    InOrder(p);
    printf("\n");
    printf("后序遍历");
    PostOrder(p);
    printf("\n");
    return 0;
}