集成学习3—— XGBoost&LightGBM

一、XGBoost

XGBoost官方文档

1.1 XGBoost原理及构建

XGBoost本质上还是一个GBDT，是一个优化的分布式梯度增强库，旨在实现高效，灵活和便携。Xgboost以CART决策树为子模型，通过Gradient Tree Boosting实现多棵CART树的集成学习，得到最终模型。

XGBoost的最终模型构建：
引用陈天奇的论文，我们的数据为： D = { ( x i , y i ) } ( ∣ D ∣ = n , x i ∈ R m , y i ∈ R ) \mathcal{D}=\left\{\left(\mathbf{x}_{i}, y_{i}\right)\right\}\left(|\mathcal{D}|=n, \mathbf{x}_{i} \in \mathbb{R}^{m}, y_{i} \in \mathbb{R}\right) D={ (xi​,yi​)}(∣D∣=n,xi​∈Rm,yi​∈R)

(1) 构造目标函数：
假设有K棵树，则第i个样本的输出为${\hat{y}}_i=\varphi \left({\mathrm{x}}_i\right)={\sum }_{k=1}^K{f}_k\left({\mathrm{x}}_i\right),f_k\in \mathcal{F}$，其中，$\mathcal{F}=\left\{f(\mathbf{x})=w_{q(\mathbf{x})}\right\}\left(q:{\mathbb{R}}^m\to T,w\in {\mathbb{R}}^T\right)$
因此，目标函数的构建为：
$$\mathcal{L}(\varphi )=\sum _{i}l\left({\hat{y}}_i,y_i\right)+\sum _k\Omega \left(f_k\right)$$
其中，${\sum }_{i}l\left({\hat{y}}_i,y_i\right)$为loss function，${\sum }_k\Omega \left(f_k\right)$为正则化项。

(2) 叠加式的训练(Additive Training)：

给定样本$x_i$，${\hat{y}}_i^{(0)}=0$(初始预测)，${\hat{y}}_i^{(1)}={\hat{y}}_i^{(0)}+f_1(x_i)$，${\hat{y}}_i^{(2)}={\hat{y}}_i^{(0)}+f_1(x_i)+f_2(x_i)={\hat{y}}_i^{(1)}+f_2(x_i)$…以此类推，可以得到：$${\hat{y}}_i^{(K)}={\hat{y}}_i^{(K-1)}+f_K(x_i)$$ 其中，${\hat{y}}_i^{(K-1)}$ 为前K-1棵树的预测结果，$f_K(x_i)$ 为第K棵树的预测结果。
因此，目标函数可以分解为：
$${\mathcal{L}}^{(K)}=\sum _{i=1}^{n}l\left(y_i,{\hat{y}}_i^{(K-1)}+f_K\left({\mathrm{x}}_i\right)\right)+\sum _k\Omega \left(f_k\right)$$
由于正则化项也可以分解为前K-1棵树的复杂度加第K棵树的复杂度，因此：$${\mathcal{L}}^{(K)}=\sum _{i=1}^{n}l\left(y_i,{\hat{y}}_i^{(K-1)}+f_K\left({\mathrm{x}}_i\right)\right)+\sum _{k=1}^{K-1}\Omega \left(f_k\right)+\Omega \left(f_K\right)$$由于 ∑ k = 1 K − 1 Ω (