【AcWing蓝桥杯】1234倍数问题(背包dp+优化)

题意:现在有n个数，从这 n个数中找到三个数，使得这三个数的和是 K 的倍数，且这个和最大。
数据范围:1≤ n ≤1e5   1≤ K ≤1e3  给定的n个数均不超过 1e8

样例：

4 3
1 2 3 4

输出：

9

数据范围是10w,非常大,但是这是蓝桥杯的题,可以直接暴力枚举拿一部分的分值。

方法1：暴力枚举,虽然会超时，但可以过一些范围小的样例

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int arr[N];
int n, m;
int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> arr[i];
    }
    int ma = -1e9;//这个点有些题会踩坑,尽量初始化成一个非常小的数
    for (int i = 0; i < n - 2; i++) {
        for (int j = i + 1; j < n - 1; j++) {
            for (int k = j + 1; k < n; k++) {
                int v = arr[i] + arr[j] + arr[k];
                if (v % m == 0) {
                    ma = max(ma, v);
                }
            }
        }
    }
    cout << ma << endl;
    return 0;
}

方法2：背包DP（给你一些数，从中挑出一些数满足某些条件，每个数只能选0次或者1次，多一个限制条件就多一维空间)

首先考虑右边的集合，不选第i个元素，意思就是从前i-1中选，其它俩维不变，也就是f[i-1][j][k]；

再看左边的集合,选第i个元素：

这里的每一行都是一种方案，每种方案都含有第i个元素,要求在这些方案中的最大值，因为每种方案都含有第i个元素，也就是我们只要求出左边1~i-1元素里面的最大值，我们把a[i]先去掉，最后把a[i]就行了，

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问题接着就转化求左边的最大值了，这个集合表示从前i-1个数中选，且选j-1个数(已经选了a[i],只剩下j-1个数)，且模数为k-a[i](这个下面有讲解)，即为f[i-1][j-1][(k-a[i])%m];

模数(k-a[i])%m的原因：（左边的+右边的)%m==k

右边的是a[i],所以左边的==(k-a[i])%m， 因为给的k的范围比a[i]小,所以可能会为负数,而负数取模仍为负数，我们可以这样处理： (k-a[i]%m+m)%m

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综上,我们要的状态计算就得到了f[i][j][k]=max(f[i-1][j][k],f[i-1][j-1][(k-a[i])%m)]);

看式子可以发现第i层的结果只用到了第i-1层，所以我们优化成俩层：f[j][k]=max(f[j][k],f[j-1][(k-a[i])%m)])，只需把j按从大到小枚举。这里为啥不是从小到大枚举：当枚举到第i层时，如果j从小到大枚举，那f[j]又是在f[j-1]只后遍历，此时f[j-1]已经存的是第i的值，所以得到的答案是f[i][j-1],而我们想要的是f[i-1][j-1]，大家也可以按照下面的图推一下那3个空格的值

要10点了，顶不住了，吃个晚饭再来。。😏😏😏

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干了一碗8块的粉还看了半局KPL灰常nice，继续哈😮😮😮

emmm，此题还没有结束，虽然空间是优化了，但这样时间复杂度是N*3*K 也就是 3*10e8😅😅😅

还是会有超时的风险。

题目中有求最大值这就有个巧妙的贪心，比如3，7，11，15，19这5个数对4取模得到的结果都是3，我们可以只要存取模相同最大的三个数11，15，19就行了，因为有第五个数19存在，答案中肯定不会包含第一个数3。这样加上一个贪心，本来要枚举1e5个数就优化成只要枚举K*3也就是3000个数。

至此，此个《爽题》就大致over了

😉😉😉😉

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10;
int f[4][N];
vector<int>a[N];
int n, k;
int main()
{
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        a[x % k].push_back(x);
    }
    memset(f, -0x3f, sizeof(f));
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        sort(a[i].begin(), a[i].end());
        reverse(a[i].begin(), a[i].end());
        for (int u = 0; u < 3 && a[i].size(); u++) {
            int x = a[i][u];
            for (int j = 3; j >= 1; j--) {
                for (int m = 0; m < k; m++) {
                    f[j][m] = max(f[j][m], f[j - 1][(m - x % k + k) % k] + x);
                }
            }
        }
    }
    cout << f[3][0] << endl;
    return 0;
}