01背包（动态规划）小结

一，问题

【问题】

一个容量为m公斤的背包。现有n种物品，每种物品只有一件，它们的重量分别为w[ i ](1<=i<=n)，它们的价值分别为c[ i ](1<=i<=n)。求能放入背包的最大价值。

【输入】

第一行：两个整数，n(物品数量，n<51)和m(背包容量，m<201)。

第2，3，，，n+1行：每行两个整数w[i],c[i],表示每个物品的重量和价值。

【输出】

一个数，表示最大价值。

【样例输入】

3 6

3 5

2 3

4 6

【样例输出】

9

PS：

01背包：第 i 件物品可以放入0个或1个；

完全背包：第 i 件物品可以放入0个，1个，2个.........

二，解答思路

1，确定状态变量（函数）；

2，确定状态转移方程（递推关系）；

3，确定边界条件。

最大价值是物品数量 i 和背包容量 j 的函数。

设函数 f[ i ][ j ] 表示前 i 件物品放入容量为 j 的背包的最大价值。

最终的最大价值就是物品数量 i 从0增长到n，背包容量 j 从0增长到m时的 f[ n ][ m ] 的值。

 若当前背包容量为 j ，我们就要考虑第 i 件物品能否放入？是否放入？

1，当前背包容量 j<W[i], 不能放入，则 f[ i [ j ]=f[ i-1 ][ j ];

2，当前背包容量 j>=W[i]，能放入，但要比较价值：

（1）如果第 i 件物品不放入背包，则 f[ i ][ j ]=f[i-1][ j ];

（2）如果第 i 件物品放入背包，则f[ i ][ j ]=f[ i -1 ][ j-w[ i ] ]+c[ i ]

如果第 i 件物品放入背包，则背包容量还剩 j-w[ i ],所以要取前 i-1 件物品放入背包，剩余容量 j-w[ i ]所获得的最大价值为 f[ i-1 ][ j-w[i] ]。

举个例子：

状态转移方程：

f[ i ][ j ]=f[ i-1 ][ j ],（j<w[ i ])

f[ i ][ j ]=max(f[ i-1 ][ j ],f[ i-1 ][ j-w[i] ]+c[ i ],(j>=w[ i ]) 

边界条件：f[ i ][ j ]=0

三，代码

for(i=1;i<=n;i++)//物品 i
{
    for(j=1;j<=m;j++)//容量 j
    {
        if(j<w[i])
            f[i][j]=f[i-1][j];
        else
            f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+c[i]);
    }
}
printf("%d",f[n][m]);

 

作进一步的优化：

 用一维数组 f[ j ] 只记录一行数据。让 j 值顺序循环，顺序更新 f[ j ] 的值。

最终简化为：

for(i=1;i<=n;i++)//物品 i
{
    for(j=w[i];j<=m;j++)//容量 j
    {
        f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
    }
}
printf("%d",f[m]);

因为 j 是逆序循环，f[ j ]会先于 f[ j-w[i] ]更新，也就是说，用旧值 f[ j-w[i] ]去更新 f[ j ],相当于用上一行的 f[ j-w[i] ]去更新 f[ j ]。