D1. LuoTianyi and the Floating Islands (换根dp)-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_63761643/article/details/130586461

该文章是一个关于图论和算法的问题，主要讨论了一颗树上k个点的分布情况对树上某点到这些点距离和的期望值影响。当k为奇数时，存在唯一一个good点，其到所有点的距离和最小。对于k=2的情况，转换为计算树上所有节点到其他节点的距离和。文章通过换根dp的方法解决了这个问题，并提供了C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

D1. LuoTianyi and the Floating Islands

题意：给定一颗树，有k个点随机分布在树上，定义good点为到k个点距离和最小的点。求good点数量的期望。

思路：当k=奇数时时，当点移动，到每个点的距离都改加1或减1。因为是奇数，所以不存在总改变量为0的情况，因此good点有且只有一个。综上所述，只需要考虑k=2的情况。对于两点来说，两点连线上的点均为good点。即可转化为求树上所有结点到其余结点的距离和，经典换根dp.

//换根dp
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<unordered_map>
using namespace std;
#define PII pair<int,int>
#define V vector<int>
#define endl "\n"
#define int long long
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int N=2e5+10,M=2*N;
const int mod=1e9+7;
int n,k;
int dist[N],sz[N],dp[N];
int h[N],e[M],ne[M],idx;
void add(int a,int b) {
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void dfs1(int u,int fa) {
    sz[u]=1;
    for(int i=h[u];~i;i=ne[i]) {
        int v=e[i];
        if(v==fa) continue;
        dfs1(v,u);
        dp[u]+=dp[v]+sz[v];
        sz[u]+=sz[v];
    }
}
void dfs2(int u,int fa) {
    for(int i=h[u];~i;i=ne[i]) {
        int v=e[i];
        if(v==fa) continue;
        dist[v]=dist[u]+n-2*sz[v];
        dfs2(v,u);
    }
}
int qpow(int a,int b) {
    int res=1;
    while(b) {
        if(b&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
void solve() {
    cin>>n>>k;
    if(k&1) {
        cout<<1<<endl;
        return ;
    }
    memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<n;i++) {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        add(a,b),add(b,a);
    }
    dfs1(1,0);
    dist[1]=dp[1];
    dfs2(1,0);
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=(res+dist[i]);
    res=res+(LL)n*(n-1)%mod;
    res=res%mod*qpow(n,mod-2)%mod*qpow(n-1,mod-2)%mod;
    cout<<res;
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);
    solve();
    return 0;
}