差分约束学习笔记

最新推荐文章于 2025-04-18 22:30:00 发布

佯设

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分类专栏： acm算法学习笔记图论专题笔记文章标签：差分约束 spfa c++ 图论

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本文介绍了如何使用最短路径算法（SPFA）解决带有约束条件的变量问题，通过将不等式转化为图论中的边权重，利用超级源点和负环检测来判断是否存在满足条件的解。实例以洛谷小K农场问题为例，展示了代码实现和逻辑分析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1有n个未知数，其中有m个约束条件，形如x1-x2<=c之类的，问是否存在满足所有约束条件的情况。

2对于条件x1-x2<=c，可以转换成x1<=c+x2,此时可以建一个x2连向x1边权为c的边，因为这个公式和最短路中的松弛操作很像。假设有两个式子，x1<=c+x2和x1<=c+x3，分别建一条x2到x1和x3到x1的边权为c的边，为了满足条件，x1肯定越小越好，如果x1出度为0，那么x1怎么小都没影响，而x1有指向其他点的边，那么x1尽量要大一点，最短路求出的就是其最大值。

3创造一个超级源点，连接所有的点，边权为0，跑spfa判断是否有负环，如果有负环，说明不满足约束条件

代码实现：

根据模板题：小 K 的农场 - 洛谷

1数据存储：

const int maxn=1e4+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m;
struct edge{
	int to,w;
};
vector<edge>vv[maxn];
void add(int u,int v,int w)
{
	vv[u].push_back({v,w});
}
bool in[maxn];//标记是否入队列 
int cnt[maxn];//spfa记录到达该点经过的路径 
int dis[maxn];//最短路

2spfa判断负环

bool spfa(int s)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	dis[i]=inf;
	dis[s]=0;
	queue<int>q;
	q.push(s);
	in[s]=1;
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		in[u]=0;
		for(int i=0;i<vv[u].size();i++)
		{
			int to=vv[u][i].to;
			int w=vv[u][i].w;
			if(dis[to]>dis[u]+w)
			{
				dis[to]=dis[u]+w;
				cnt[to]=cnt[u]+1;
				if(cnt[to]>=n+1)
				return 0;
				if(!in[to])
				{
					q.push(to);
					in[to]=1;
				}
			}
		}
	}
	return 1;
}

3主函数（建边）

int main()
{	
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int op,u,v,c;
		cin>>op;
		if(op==1)//u-c>=v   建一条u到v边权为-c的边 
		{
		cin>>u>>v>>c;
		add(u,v,-c);	
		}
		else if(op==2)//u<=v+c   建一条v到u权为c的边 
		{
			cin>>u>>v>>c;
			add(v,u,c);
		}
		else//u<=v+0  u+0>=v    分别建一条u到v和v到u边权都为0的边 
		{
			cin>>u>>v;
			add(u,v,0);
			add(v,u,0);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	add(0,i,0);
	if(spfa(0))
	cout<<"Yes\n";
	else
	cout<<"No\n";
	return 0;
}

4完整代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e4+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m;
struct edge{
	int to,w;
};
vector<edge>vv[maxn];
void add(int u,int v,int w)
{
	vv[u].push_back({v,w});
}
bool in[maxn];//标记是否入队列 
int cnt[maxn];//spfa记录到达该点经过的路径 
int dis[maxn];//最短路 
bool spfa(int s)
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	dis[i]=inf;
	dis[s]=0;
	queue<int>q;
	q.push(s);
	in[s]=1;
	while(!q.empty())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		in[u]=0;
		for(int i=0;i<vv[u].size();i++)
		{
			int to=vv[u][i].to;
			int w=vv[u][i].w;
			if(dis[to]>dis[u]+w)
			{
				dis[to]=dis[u]+w;
				cnt[to]=cnt[u]+1;
				if(cnt[to]>=n+1)
				return 0;
				if(!in[to])
				{
					q.push(to);
					in[to]=1;
				}
			}
		}
	}
	return 1;
}
int main()
{	
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int op,u,v,c;
		cin>>op;
		if(op==1)//u-c>=v   建一条u到v边权为-c的边 
		{
		cin>>u>>v>>c;
		add(u,v,-c);	
		}
		else if(op==2)//u<=v+c   建一条v到u权为c的边 
		{
			cin>>u>>v>>c;
			add(v,u,c);
		}
		else//u<=v+0  u+0>=v    分别建一条u到v和v到u边权都为0的边 
		{
			cin>>u>>v;
			add(u,v,0);
			add(v,u,0);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	add(0,i,0);
	if(spfa(0))
	cout<<"Yes\n";
	else
	cout<<"No\n";
	return 0;
}