【cf】Round 128 C. Binary String

题目链接：Problem - C - Codeforces

翻译（参考）：

t组数据，每组一个字符串，可以从前往后删除一段字符串和从后往前删除一段，删除的代价为max（剩余字符串中0的个数记为num1，删除的字符串中1的个数记为num2），求代价的最小值。

 分析：

我们考虑用前缀和f[i]记录0~i中1的个数。

记len为剩余字符串长度，n1为剩余字符串内1的个数；剩余的字符串范围 (i,i+len]，则

num1=f[i]+(f[n]-f[i+len])=f[n]+f[i]-f[i+len]; 

num2=len-(f[i+len]-f[i])=len+f[i]-f[i+len];

cost=max(num1,num2)=max(f[n],len) - (f[i+len]-f[i]) = max(f[n],len) - n1;

len越大时在len<=f[n]范围内max(f[n],len)不影响，在len>f[n]范围内max(f[n],len)越大；n1在任何范围内都越大。在len<=f[n]内，cost递减；在len>f[n]内max(f[n],len)越大的速率要比n1增大的速率快，为什么呢？因为max(f[n],len)增加的值为增加的字符串的长度，而n1增加的值为增加的字符串中1的个数（因为增加的字符串有1也有0）。所以在len等于f[n]的时候花费是最小的。

cost-len函数图像大致如下图：

 

证明如下：

记剩余字符串为s1,删去的字符串为s2，我们要使s1中的0尽可能小，使s2中的1也尽可能小，

cost=max(f[n]-n1,len-n1)，我们考虑len与f[n]的关系

前言：costa,costb,costc都为对应情况下的花费，n1a,n1b,n1c都为对应情况下剩余字符串中1的个数，len为剩余字符串长度。

a）剩余字符串s1长度len等于f[n]：

costa=num1a=num2a=f[n]-n1a;

b）剩余字符串s1长度len小于f[n]：

num1b=len-n1b；

num2b=f[n]-n1b；

costb=num2=f[n]-n1b

因为a剩余的字符串长度大于b剩余的字符串长度，所以n1a>=n1b

所以costb>=costa，a情况比b情况更优

c）剩余字符串s1长度len大于f[n]：

num1c=len-n1c;

num2c=f[n]-n1c;

costc=len-n1c;

len>f[n]，n1c>n1a;

n1c-n1a<=len-f[n] ---> len-f[n]-n1c+n1a>=0

costc-costa=(len-n1c)-(f[n]-n1a)=len-f[n] -n1c+n1a >=0;

所以costc>=costa，a情况比c情况更优

综上，在a情况下最优。故枚举长度为f[n]的字符串求其代价，对所有的长度为f[n]的字符串的代价求最小值。

详见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 50;
int f[N]; //记录1的个数的前缀和
int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        char s[N];
        cin >> s;
        int n;
        for (n = 0; s[n] != '\0'; n++)
            f[n + 1] = f[n] + int(s[n] == '1'); //前缀和
        int ans = f[n];                         //剩余字符串大小为0
        for (int i = 0; i + f[n] <= n; i++)
            ans = min(ans, f[i] + f[n] - f[i + f[n]]);
        cout << ans << endl;
    }
}

 ending

呜呜呜，太菜了，面向标程的题解，可能说的不是很清楚，有什么错误之处，求各位dalao指正