Nebius Welcome Round (Div. 1 + Div. 2) (C~D)

C. Pull Your Luck

https://codeforces.com/contest/1804/problem/C

题意：是否存在一个$a\le p$使得$(x+\frac{a\ast (a+1)}{2})\%n=0$

$n(1\le \sum n\le 2\cdot 10^5),p(1\le p\le 10^9)$

思路：枚举a。容易发现对$\frac{a\ast (a+1)}{2}\%n$是有周期性的。
结论： 当n为奇数时最小周期为n，n为偶数时为2n

证明：

$\frac{a\ast (a+1)}{2}\%n\iff (a\%n)\ast ((a+1)\%n)\ast inv(2)$

$inv(2)$为2在模n下的逆元，当逆元存在的时候，很明显周期T=n。

• 当n为奇数：$inv(2)=\frac{n+1}{2}$，因为$(2\ast \frac{n+1}{2})\%n=1$

• 当n为偶数时，逆元不存在：定义a存在逆元，存在一个x使得$ax\equiv 1$，也即$ax+ny=1$存在正整数解x。
  而由扩展欧几里得可知，$ax+ny=1$有解的必要条件是$1=gcd(a,n)$，而$gcd(a,n)\ge 2\ne 1$故逆元不存在。
  在逆元不存在的情况下，上式就不成立了。
  我们令周期为kn（容易知道周期肯定是n的倍数），有
  $\frac{a\ast (a+1)}{2}\%n=\frac{(a+kn)\ast (a+kn+1)}{2}\%n$
  $=\frac{a^2+a+2kna+kn+k^2{n}^2}{2}$
  $=\frac{a^2+a}{2}\%n+\frac{kn+k^2{n}^2}{2}\%n$
  $=\frac{a\ast (a+1)}{2}\%n+\frac{kn+k^2{n}^2}{2}\%n$
  那么，我们就需要后面一项$\frac{kn+k^2{n}^2}{2}\%n=0$，很明显k=2时该式子为0。

AC代码

int calc(int x) {
    return x * (x + 1) / 2;
}
void solve() {
    cin >> n >> x >> p;
    for (int i = 1; i <= min((n & 1) ? n : n << 1, p); i++) {
        if ((calc(i) + x) % n == 0) {
            cout << yes;
            return;
        }
    }
    cout << no;
}

D. Accommodation （贪心）

https://codeforces.com/contest/1804/problem/D

题意：有n层公寓，每层m个窗户（m是4的倍数）。每个窗户要么是明亮的，要么是昏暗的。

每间房间要么是一居室，房间内有一个窗户，要么是两居室，房间内是同一层的连续两个窗户。每一层中，恰好有 $\frac{m}{2}$个一居室和 $\frac{m}{4}$ 个两居室。

对于一间公寓，只要其中有一个窗户是明亮的，则称这间公寓是明亮的。对于所有划分公寓的方法，求明亮的公寓的数量的最大值和最小值。

思路：对每层贪心考虑

最小值：那肯定是尽可能将两个亮的窗户划分成一个大房间（记为c11）

• $c11\le \frac{m}{4}$：两居室还有剩余，在这种情况下剩下的1都能够点亮1个房间，答案为$c11+c1-c11\ast 2$（c1为1的数量）
• $c11>\frac{m}{4}$：11能够填满所有的两居室，那么剩下的也就都是一居室了，答案为$\frac{m}{4}+(c1-\frac{m}{4}\ast 2)$

最大值：尽可能不让11划分成两居室，记c00为能划分成非11的最多两居室的数量

• $c00\le \frac{m}{4}$：两居室还有剩余，则必须要用11作为两居室划分成剩余的两居室，其余的每个1都能够点亮一个房间，此时答案为$c1-(\frac{m}{4}-c00)$
• $c00>\frac{m}{4}$：显然所有的1都能够点亮1个房间，答案为$c1$

详见代码

void solve() {
    cin >> n >> m;
    char a[n + 1][m + 1];
    vector<int> c0(n + 1, 0), c1(n + 1, 0), c00(n + 1, 0), c11(n + 1, 0);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
            cin >> a[i][j], c1[i] += (a[i][j] == '1');
    int ans1 = 0, ans2 = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            if (!(a[i][j] == '1' && a[i][j + 1] == '1'))//计算不把11划分成两居室的数量
                c00[i]++, j++;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            if (a[i][j] == '1' && a[i][j + 1] == '1')//计算11的数量
                c11[i]++, j++;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int last = c1[i] - 2 * c11[i];
        if (c11[i] <= m / 4) ans1 += c11[i] + last;
        else ans1 += m / 4 + (c1[i] - m / 2);
        if (c00[i] <= m / 4) ans2 += c1[i] - (m / 4 - c00[i]);
        else ans2 += c1[i];

    }
    cout << ans1 << " " << ans2 << "\n";
}