三角函数公式(test)

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三角函数公式与柯西不等式

本文将详细介绍三角函数的基本公式以及柯西不等式，旨在为数学爱好者提供一个全面的参考。

三角函数公式

定义

三角函数是描述直角三角形中边和角的关系的函数。以下是基本的三角函数定义：

正弦函数：sin(θ) = 对边 / 斜边
余弦函数：cos(θ) = 邻边 / 斜边
正切函数：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) = 对边 / 邻边
余割函数：csc(θ) = 1 / sin(θ)
正割函数：sec(θ) = 1 / cos(θ)
余切函数：cot(θ) = 1 / tan(θ) = cos(θ) / sin(θ)

和差公式

三角函数的和差公式如下：

sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
tan(α ± β) = (tan(α) ± tan(β)) / (1 ∓ tan(α)tan(β))

倍角公式

倍角公式是三角函数中的重要部分：

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)
cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ)
tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan²(θ))

半角公式

半角公式如下：

sin²(θ/2) = (1 - cos(θ)) / 2
cos²(θ/2) = (1 + cos(θ)) / 2
tan(θ/2) = √[(1 - cos(θ)) / (1 + cos(θ))] = (1 - cos(θ)) / sin(θ)

和差化积公式

和差化积公式如下：

sin(α) + sin(β) = 2sin((α + β) / 2)cos((α - β) / 2)
sin(α) - sin(β) = 2cos((α + β) / 2)sin((α - β) / 2)
cos(α) + cos(β) = 2cos((α + β) / 2)cos((α - β) / 2)
cos(α) - cos(β) = -2sin((α + β) / 2)sin((α - β) / 2)

柯西不等式

柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，它在实数和复数向量空间中都有应用。

实数向量空间

对于任意实数序列 a1, a2, …, an 和 b1, b2, …, bn，都有：
(a1² + a2² + … + an²)(b1² + b2² + … + bn²) ≥ (a1b1 + a2b2 + … + anbn)²
等号成立当且仅当存在实数 λ 使得 ai = λbi 对所有 i 成立。

复数向量空间

在复数向量空间中，柯西不等式表述为：
|<a, b>|² ≤ ||a||² ||b||²
其中 <a, b> 表示向量 a 和 b 的内积，||a|| 和 ||b|| 分别表示向量的范数。等号成立当且仅当 a 和 b 线性相关。

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