组合数学分苹果问题求方案数

原创已于 2025-09-16 07:55:09 修改 · 219 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#数学建模

于 2025-09-15 22:04:31 首次发布

                    
序号nnn个苹果是否相同mmm个篮子是否相同篮子是否为空方案数
1√××(n−1m−1)\binom{n-1}{m-1}(m−1n−1​) (插空法)
2√×√(n+m−1m−1)\binom{n+m-1}{m-1}(m−1n+m−1​) (虚拟苹果法)
3√√×p(n,m)p(n, m)p(n,m) (整数划分)
4√√√∑k=1mp(n,k)\sum_{k=1}^{m} p(n, k)∑k=1m​p(n,k) (类似333，当篮子为空的时候相当于篮子数目少111)
5×√×S(n,m)S(n, m)S(n,m) (第二类斯特林数)
6×√√∑k=1mS(n,k)\sum_{k=1}^{m} S(n, k)∑k=1m​S(n,k)(类似555，当篮子为空的时候相当于篮子数目少111)
7×××m!⋅S(n,m)m! \cdot S(n, m)m!⋅S(n,m) (先分组后排列)
8××√mnm^nmn (乘法原理)

序号	$n$ 个苹果是否相同	$m$ 个篮子是否相同	篮子是否为空	方案数
1	√	×	×	$(n−1m−1)\binom{n-1}{m-1}$ (插空法)
2	√	×	√	$(n+m−1m−1)\binom{n+m-1}{m-1}$ (虚拟苹果法)
3	√	√	×	$p (n, m)$ (整数划分)
4	√	√	√	$∑k=1mp(n,k)\sum_{k=1}^{m} p(n, k)$ (类似 $3$ ，当篮子为空的时候相当于篮子数目少 $1$ )
5	×	√	×	$S (n, m)$ (第二类斯特林数)
6	×	√	√	$∑k=1mS(n,k)\sum_{k=1}^{m} S(n, k)$ (类似 $5$ ，当篮子为空的时候相当于篮子数目少 $1$ )
7	×	×	×	$\cdot S(n, m)$ (先分组后排列)
8	×	×	√	$m^n$ (乘法原理)