[计算机图形学]任意斜率的中点画线法

[计算机图形学]任意斜率的中点画线法

中点画线法简介

中点画线法是经典的画线算法，相较于DDA（数值微分法），中点画线法避免了使用浮点数进行运算，可以仅使用整数运算来获得像素坐标点。

但是目前大部分的教科书中仅介绍了斜率为$0<=k<=1$的情况，对其他情况并没有说明。因此，下面我会对任意斜率的中点画线法进行延申。

中点画线法在斜率为$0<k<=1$下的推导

首先介绍经典的斜率为$0<k<=1$的情况：

如图，假设在当前迭代中离直线最近的像素已确定为$P=(x_p,y_p)$，由于$x$为最大位移方向，因此接下来的每一次迭代，$x$方向上都将增加一个像素单位，而$y$方向上将不增加像素单位或增加一个像素单位。

那么问题就是究竟选择像素$P1=(x_p+1,y_p)$还是像素$P2=(x_p+1,y_p+1)$？这取决于哪一个像素会离直线会更接近。中点画线法给出了一个判断哪个像素更接近的规则：

考虑介于线段$P1P2$的中点$M=(x_p+1,y_p+0.5)$和线段$P1P2$与直线的交点$Q$，

• 如果点$M$在点$Q$的下方，说明点$P2$离$Q$更近，也就是$P2$离直线更近，因此选择$P2$像素
• 如果点$M$在点$Q$的上方，说明点$P1$离$Q$更近，也就是$P1$离直线更近，因此选择$P1$像素
• 如果点$M$与点$Q$重合，说明点$P1$和点$P2$离$Q$一样近，也就是点$P1$和点$P2$离直线一样近，可取$P1$或$P2$中的任意一个，这里规定取$P1$像素

下面，我们用数学表达式来重新表达上述规则：

假设上图中的直线为$F(x,y)=ax+by+c=0$，

• 点$M$在点$Q$的下方，等价于点$M$在直线下方，也就是$F(x_p+1,y_p+0.5)<0$，此时选择$P2$像素
• 点$M$在点$Q$的上方，等价于点$M$在直线上方，也就是$F(x_p+1,y_p+0.5)>0$，此时选择$P1$像素
• 点$M$与点$Q$的重合，等价于点$M$刚好在直线上，也就是$F(x_p+1,y_p+0.5)=0$，此时规定选择$P1$像素

拓展延伸：

这里要求直线函数$F(x,y)$中的$b\ge 0$，因为这样才能确定使得$F(x,y)<0$的点对应在直线下方，使得$F(x,y)>0$的点对应在直线上方。也就是说，$b$的正负决定了点与直线的对应关系。类似的，其实$a$的正负也决定着上述的对应关系，只不过$b$决定了上下关系，$a$决定了左右关系。

进一步构造判别式：$d=F(x_p+1,y_p+0.5)$，用判别式重述上述规则：

• 当$d<0$时，选择$P2$像素
• 当$d>=0$时，选择$P1$像素

有了这个方法后，我们就能由当前的像素点$P=(x_p,y_p)$推断下一个像素点了。

在后续的迭代过程中，如果每一次迭代都类似于上述过程，将中点带入直线$F(x,y)$计算一下，这会牺牲很多计算资源。为了提高计算效率，节省计算资源，我们得想出一个办法解决来带入计算的问题。因为函数$F(x,y)$表示的是一条直线，具有线性性质，因此我们可以使用加法（也就是所谓的增量法）来代替带入计算。

• 假设像素点$P=(x_p,y_p)$的下一个像素点为$P1=(x_p+1,y_p)$，那么推断下一个像素点的判别式就可以写成
  $$\begin{array}{rl}{d}_1& =F(x_p+2,y_p+0.5)\\ & =a(x_p+2)+b(y_p+0.5)+c\\ & =a(x_p+1)+b(y_p+0.5)+c+a\\ & =F(x_p+1,y_p+0.5)+a\\ & =d+a\end{array}$$

• 假设像素点$P=(x_p,y_p)$的下一个像素点为$P2=(x_p+1,y_p+1)$，那么推断下一个像素点的判别式就可以写成
  $$\begin{array}{rl}{d}_1& =F(x_p+2,y_p+1+0.5)\\ & =a(x_p+2)+b(y_p+1+0.5)+c\\ & =a(x_p+1)+b(y_p+0.5)+c+a+b\\ & =F(x_p+1,y_p+0.5)+a+b\\ & =d+a+b\end{array}$$

也就是说，推断下一个像素点的判别式可以直接由上一个判别式加一个数（这个数被称为增量）就能得到，这样子计算效率就大大提高了。

特别的，假设像素点$P=(x_p,y_p)$就是直线的起点（也就是$F(x_p,y_p)=0$），那么有：
$$\begin{array}{rl}d& =F(x_p+1,y_p+0.5)\\ & =a(x_p+1)+b(y_p+0.5)+c\\ & =a{x}_p+b{y}_p+c+a+0.5b\\ & =F(x_p,y_p)+a+0.5b\\ & =a+0.5b\end{array}$$
为了避免$0.5$这个浮点数运算，所以我们用$2d=2a+b$替换判别式，反正也只是和$0$进行比对，乘多少都无所谓。
同样的，后续的判别式也变成了$2d_1=2d+2a$或$2d_1=2d+2(a+b)$。

最后，我们给出中点画线法在斜率为$0<k<=1$下的完整步骤：

1. 给起点$(x1,y1)$和终点$(x_2,y_2)$，其中$x_1<x_2$且直线斜率为$0<k<=1$。
2. 初始化。令$a=y_1-y_2,b=x_2-x_1,d=2a+b,det{a}_1=2a,det{a}_2=2(a+b),x=x1,y=y1$。
3. 画像素点$(x,y)$
4. 判断$x$是否小于$x_2$。如果$x<x_2$，则执行步骤5，否则流程结束。
5. 如果$d<0$，则$x++;y++;d+=det{a}_2$；如果$d>=0$，则$x++;d+=det{a}_1$；画像素点$(x,y)$，转到步骤4。

任意斜率的中点画线法

任意其他斜率的情况也可以如同上述进行分析，但注意在斜率$|k|>1$时，每一步的最大位移方向是$y$方向，即每次迭代是在$y$方向上前进一步，在$x$方向上判断中点和直线关系。

具体推导过程不再说明，以下图为标准，假设起点为$(x_0,y_0)$，终点在圆上时的初始判别式$d$和判别式$d>0$、$d<0$时迭代情况。

特别的，当d = 0时，应归属于只有最大位移方向移动的情况。

终点所在角度	d	d>0	d<0	$d=0$
$(0°,45°]$	2a+b	x++;d+=2a	x++;y++;d+=2(a+b)	归于$d>0$
$(45°,90°)$	a+2b	y++;x++;d+=2(a+b)	y++;d+=2b	归于$d<0$
$(90°,135°]$	-a+2b	y++;x--;d+=2(b-a)	y++;d+=2b	归于$d<0$
$(135°,180°)$	-2a+b	x--;d-=2a	x--;y++;d+=2(b-a)	归于$d>0$
$(180°,225°]$	-2a-b	x--;y--;d-=2(a+b)	x--;d-=2a	归于$d<0$
$(225°,270°)$	-a-2b	y--;d-=2b	y--;x--;d-=2(a+b)	归于$d>0$
$(270°,315°]$	a-2b	y--;d-=2b	y--;x==;d+=2(a-b)	归于$d>0$
$(315°,360°)$	2a-b	x++;y--;d+=2(a-b)	x++;d+=2a	归于$d<0$

备注：

• 水平直线和竖直直线易得，这里不再说明。

• 注意初始化时要令$b\ge 0$

  int a = y1-y2; 
  int b = x2-x1;
  if (b < 0){ 
      a = -a;
      b = -b
  }
  

• 注意分清是-=还是+=

• 八个部分可以通过横、纵行进方向的正负号串起来，具体不再赘述，希望读者自己思考（嘻嘻🤭）

中点画线法代码（C语言）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

void vline(int x, int y1, int y2, FILE* f){
    /*竖直的线*/
    int s = y1 > y2 ? -1 : 1; // 迭代方向
    for (int i = y1; i != y2; i += s) {
        fprintf(f, "(%d,%d)\n", x, i);
    }
    fprintf(f, "(%d,%d)\n", x, y2);
}

void hline(int x1, int x2, int y, FILE* f){
    /*水平的线*/
    int s = x1 > x2 ? -1 : 1; // 迭代方向
    for (int i = x1; i != x2; i += s){
        fprintf(f, "(%d,%d)\n", i, y);
    }
    fprintf(f, "(%d,%d)\n", x2, y);
}

void midPointLine (int x1, int y1, int x2, int y2, FILE* f) {
    /* 使用中点画线算法绘制起点为(x1,y1)，终点为(x2,y2)的直线 */

    if (x1 == x2) { // 直线为竖直线
        vline(x1, y1, y2, f);
        return;
    }

    if (y1 == y2) { // 直线为水平线
        hline(x1, x2, y1, f);
        return;
    }

    int a, b; // 所画直线的参数
    a = y1 - y2;
    b = x2 - x1;
    if (b < 0){
        a = -a;
        b = -b;
    }

    int dx, dy; // 起终点之间的横、纵距离
    dx = (b > 0) ? b : -b;
    dy = (a > 0) ? a : -a;

    int sx, sy; // 起点到终点的迭代方向
    sx = (x1 > x2) ? -1 : 1;
    sy = (y1 > y2) ? -1 : 1;

    int x, y, d; // 迭代参数
    x = x1;
    y = y1;
    d = (dx >= dy) ? 2 * sx * a + sy * b: sx * a + 2 * sy * b;

    fprintf(f, "(%d,%d)\n", x1, y1);
    // 中点画线法
    if (dx >= dy){ // 直线斜率 0 < |k| <= 1 的情况
        if (sy > 0){ // 终点位于起点的上面
            while(x != x2){
                if (d >= 0){
                    x += sx; d += 2 * sx * a;
                    fprintf(f, "(%d,%d)\n", x, y);
                } else {
                    x += sx; y += sy; d += 2 * (sx * a + sy * b);
                    fprintf(f, "(%d,%d)\n", x, y);
                }
            } return;
        } else { // 终点位于起点的下面
            while(x != x2){
                if (d > 0){
                    x += sx; y += sy; d += 2 * (sx * a + sy * b);
                    fprintf(f, "(%d,%d)\n", x, y);
                } else {
                    x += sx; d += 2 * sx * a;
                    fprintf(f, "(%d,%d)\n", x, y);
                }
            } return;
        }
    } else { // 直线斜率 1 < |k| 的情况
        if (sy > 0){ // 终点位于起点的上面
            while(y != y2){
                if (d > 0){
                    y += sy; x += sx; d += 2 * (sx * a + sy * b);
                    fprintf(f, "(%d,%d)\n", x, y);
                } else {
                    y += sy; d += 2 * sy * b;
                    fprintf(f, "(%d,%d)\n", x, y);
                }
            } return;
        } else { // 终点位于起点的下面
            while(y != y2){
                if (d >= 0){
                    y += sy; d += 2 * sy * b;
                    fprintf(f, "(%d,%d)\n", x, y);
                } else {
                    y += sy; x += sx; d += 2 * (sx * a + sy * b);
                    fprintf(f, "(%d,%d)\n", x, y);
                }
            } return;
        }
    }

}

int main()
{
    int x1,y1,x2,y2;
    printf("请输入点(x1 y1): ");
    scanf("%d %d", &x1, &y1);
    printf("请输入点(x2 y2): ");
    scanf("%d %d", &x2, &y2);

    FILE* f;
    f = fopen("midPointLineOutput.txt","w");
    if (f == NULL) {
        printf("无法建立输出文件，程序错误。");
        return 0;
    }

    midPointLine(x1, y1, x2, y2, f);
    fclose(f);

    return 0;
}