背包问题(01背包问题)

f[ i ][ j ]表示只看前i个物品，总体积是j的情况下，总价值最大是多少，则result=max(f[n][0~v])

f[ i ][ j ]:(两种情况取最大值)

1.不选第i个物品，f[ i ][ j ]=f[ i-1 ][ j ];

2.选第i个物品，f[ i ][ j ]=f[ i-1 ][ j-v[ i ] ];

f[i][j]=max(1,2);

初始化：

f[0][0]=0；(一个物品都不选，体积是0的情况下，最大价值是0)

时间复杂度：O(n*m)

朴素做法：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
const int N=1010;
int n,m;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
using namespace std;

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){  //枚举所有的物品
        for(int j=0;j<=m;j++){  //从前往后枚举所有的体积,然后转移
            f[i][j]=f[i-1][j];  //第一种情况，第i个物品不选
            if(j>=v[i]){  //j>=v[i]时才能选
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);  //第二种情况，第i个物品选
            }
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=0;i<=m;i++)res=max(res,f[n][i]);
    cout<<res<<endl;
}

 优化：

1.f[i][j]状态只和f[i-1][j]有关，即只和前一层有关，所以用一维数组f[n]来表示体积是i的最大价值是多少，把f[i]的状态等价删除，即把二维数组变成一维数组

2.f[m]是答案：初始化时f[i]都是0，f[m]表示体积小于等于m的最大价值；如果求体积恰好是m时，最大价值是多少，初始化时只把f[0]=0,其余都是负无穷

优化代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
const int N=1010;
int n,m;
int f[N];
int v[N],w[N];
using namespace std;

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) 
        for(int j=m;j>=v[i];j--)  
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);  
    cout<<f[m]<<endl;
}