方格取数--数字三角形dp问题

项目场景：

线性dp 数字三角形类问题

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问题描述

设有 N×N 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字0。如下图所示：

某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

输入格式

第一行为一个整数N，表示 N×N 的方格图。

接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。

行和列编号从 1 开始。

一行“0 0 0”表示结束。

输出格式

输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。

数据范围

N≤10

输入样例：

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0

输出样例：

67

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原因分析：

这里类比摘花生那道题目的解决思路，以最后一次状态分析，最后的结果由四种情况组成。

这里的状态表示用f[k][i1][i2] k = i1 + j1 = i2 + j2 表示两条路径中移动的步数 只有当步数相同时 才有可能出现重合的情况，具体写法见代码。

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实现代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 15;
int f[N*2][N][N];
int w[N][N];
int n;


int main(){
    cin>>n;
    int a,b,c;
    //连续读入
    while(cin>>a>>b>>c) w[a][b] = c;
    //进行dp
    //k = i1 + j1 = i2 + j2 为每条路径中运动的步长
    for(int k=2;k<=n+n;k++)
        for(int i1=1;i1<=n;i1++)
            for(int i2=1;i2<=n;i2++){
                int j1 = k - i1,j2 = k - i2;
                //当j1 j2都不越界时进行dp
                if(j1>=1&&j1<=n&&j2>=1&&j2<=n){
                    //t为当前的w[i][j] 如果两次路径访问到的元素重合时 在后面进行状态转移的时候累加一次 
                    //如果两次路径访问到的元素不重合时 t累加两次
                    int t = w[i1][j1];
                    if(i1!=i2) t+=w[i2][j2];
                    //这里是c++引用的写法 简化代码量
                    int &x = f[k][i1][i2];
                    x = max(f[k-1][i1-1][i2-1]+t,x);//两次路径都从下边到达最终状态
                    x = max(f[k-1][i1][i2-1]+t,x);//右 下
                    x = max(f[k-1][i1-1][i2]+t,x);//下 右
                    x = max(f[k-1][i1][i2]+t,x);//右 右
                }
            }
    cout<<f[n+n][n][n]<<endl;
    
    
    return 0;
    
}