【动态规划+数论】波动数列|完全背包变形

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题目详情:

问题描述：

输入说明：

输出说明：

测试用例:

输入：

输出:

题解：

问题分析：

数学分析:

动态规划分析：

目标确定:

DP数组初始化：

DP数组遍历方式:

状态转移方程：

题解代码:

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题目详情:

问题描述：

        观察这个数列：
　　1 3 0 2 -1 1 -2 ...

　　这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。

　　栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢？

输入说明：

       输入的第一行包含四个整数 n s a b，含义如前面说述。

       对于10%的数据，1<=n<=5，0<=s<=5，1<=a,b<=5；
　　对于30%的数据，1<=n<=30，0<=s<=30，1<=a,b<=30；
　　对于50%的数据，1<=n<=50，0<=s<=50，1<=a,b<=50；
　　对于70%的数据，1<=n<=100，0<=s<=500，1<=a, b<=50；
　　对于100%的数据，1<=n<=1000，-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000，1<=a, b<=1,000,000。

输出说明：

        输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以100000007的余数。

比如：

输入

4 10 2 3

输出

2

说明：

　　这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

测试用例:

输入：

4 10 2 3
 

输出:

2
 

题解：

问题分析：

数学分析:

动态规划分析：

类似于背包问题 DP[i][j] 选前i个数字 这i个数字 放进上述B这个组合%n==s%n的情况 而j即为上述这个组合%n的值 

目标确定:

DP[n-1][s%n]即为最终答案 因为B中只有n-1个数字 而j则是遍历所有余数 最大=s%n的情况

DP数组初始化：
 

0个数字 B的和为0 有一种方式 则初始化为DP[0][0]=1 其他都初始化为0 

DP数组遍历方式:
 

类似于完全背包问题 外层遍历选了几个数字 也就是i    内层遍历数字的B和 j  内层从小到大遍历 也就是一个相同的数字不一定选一个

状态转移方程：

考虑最后一个点 是选+a还是-b 

           

题解代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<sstream>
#include<map>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int mod=100000007;
const int maxn=1e3+5;
int n,s,a,b;
int dp[maxn][maxn];//i代表的是选用的数字个数 最大为1000 j代表的是前i个数字计算后%n 所有最大为n=1000

int get_mod(int a,int b){
    return (a%b+b)%b;
}
int main(){

    cin>>n>>s>>a>>b;
    //类似于完全背包 一个物品可以选用多次
    dp[0][0]=1;//0个数字 和为0 只有一种选法
    for(int i=1;i<=n;++i){//外层遍历数字的个数 也就是物品的个数
        for(int j=0;j<n;++j){//余数最大为s%n
            dp[i][j]=(dp[i-1][get_mod(j-a*(n-i),n)]+dp[i-1][get_mod(j+b*(n-i),n)])%mod;//前面有可能小于0 两个都有可能大于n 要取余

        }
    }
    
    cout<<dp[n-1][get_mod(s,n)];
    return 0;
}

注意取余函数的使用 要保证j>=0 但是j可能会小于0 所以都在取余函数中处理了