青蛙跳台阶

问题一：青蛙跳台阶
从前有一只青蛙想跳台阶去等峰，若该青蛙一次可以跳上1级台阶、也可以跳上2级、还可以跳3级。那么改青蛙从第0级台阶出发，在跳上第n级台阶且在第m级台阶停留过时有多少种跳法。
输入描述：
第一行两个正整数，n和m m<=n
输出描述：
一个整数，表示跳法
输入样例：
4 2
输出样例：
4

def frog_jump(n, m):
if m > n:
return 0

dp = [0] * (n + 1)
visited = [0] * (n + 1)
dp[0] = 1 

for i in range(1, n + 1):
    if i >= 1:
        dp[i] += dp[i - 1]
        visited[i] += visited[i - 1]
    if i >= 2:
        dp[i] += dp[i - 2]
        visited[i] += visited[i - 2]
    if i >= 3:
        dp[i] += dp[i - 3]
        visited[i] += visited[i - 3]
    if i == m:
        visited[i] = dp[i]

return visited[n]

n, m = map(int, input().split())

print(frog_jump(n, m))

1. 输入数据的获取:
   用户在运行程序时通过键盘输入数据。第一行包含两个正整数 n 和 m，表示青蛙要跳到的目标台阶数 n 和必须经过的台阶数 m，其中 m <= n。

2. 输入数据读入:
   使用 input() 函数读取输入的字符串。

3. 算法处理:

4. 算法思想
   为了求解该问题，我们采用动态规划的思想。动态规划适用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，通过将问题分解成子问题来求解，避免了重复计算。

5. 动态规划状态定义
   定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示从第0级台阶跳到第 i 级台阶的跳法总数。初始状态为 dp[0] = 1，即从第0级台阶到第0级台阶只有一种跳法，不跳。

6. 状态转移方程
   对于每一级台阶 i，青蛙可以通过以下三种方式到达：
   从第 i1 级台阶跳1级到达第 i 级；
   从第 i2 级台阶跳2级到达第 i 级；
   从第 i3 级台阶跳3级到达第 i 级。

因此，状态转移方程为：
[ dp[i] = dp[i1] + dp[i2] + dp[i3] ]
其中，当 i 小于1、2、3时，相应的 dp[i1]、dp[i2] 和 dp[i3] 应该被视为0。

4. 算法实现
   为了确保青蛙在第 m 级台阶停留过，我们可以使用一个数组 visited 来记录青蛙是否访问过某一级台阶。在计算跳法时，检查是否在 m 级台阶停留过，并根据这个条件调整最终结果。

5. 算法复杂度
   时间复杂度：该算法的时间复杂度为 (O(n))，因为我们只需遍历一次台阶数进行动态规划计算。
   空间复杂度：该算法的空间复杂度为 (O(n))，需要额外的空间来存储 dp 和 visited 数组。

6. 算法输出:
   根据动态规划算法计算出从第0级台阶跳到第 n 级台阶且在第 m 级台阶停留过的跳法总数。

7. 输出展示: