完全背包问题

题目（3. 完全背包问题 - AcWing题库）

有 N种物品和一个容量是 V的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

 问题分析：

完全背包问题和01背包问题唯一的区别就是01背包问题一种物品只能取一次，而完全背包问题能取多次。

（这里借用一下y总的问题求解图，y总yyds）

对于物品i

不选：f[i][j]=f[i-1][j] 

选：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2v]+2w,......)

对于“选”优化

取f[i][j-v]=max(f[i-1][j-v],f[i-1][j-2v]+w,.......) 

==>（等价于上面红色部分-w）max(f[i-1][j-v]+w,f[i-1][j-2v]+2w,......)-w

所以：对于上面选：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v]+w)

与01背包问题比较

01背包问题：f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v]+w)，f[i-1][j-v]为i-1层的数，即j要从大到小（保证取到的值在i层还未被更新，即为i-1层的数）

for(j=m;j>=v[i],j--)

完全背包问题：f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v]+w)，f[i][j-v]为i层的数，即j要从小到大

for(j=0,j<=m;j++)

上代码

二维求解

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1005;
int m,n;
int v[N],w[N];
int f[N][N];//n个物品，m容量的最大价值

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];//不取i物品
            if(j>=v[i])
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//满足取i物品的条件，选择取或不去i物品,使价值最大
        }
    
    cout<<f[n][m];
    return 0;
}

一维求解（二维求解的等价代换）

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1005;
int m,n;
int v[N],w[N];
int f[N];//m容量的最大价值

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);//满足取i物品的条件，选择取或不去i物品,使价值最大
    
    cout<<f[m];
    return 0;
}