运算放大器及其应用电路

运算放大器的工作特性曲线

👉运算放大器的工作特性曲线如下图图1所示：

🗝️图中：

• $V_s$ 指的是运算放大器(简称运放)的电源；

👉由上图可知，运放输出端的最大值为其电源的绝对值 $|V_s|$ ，且随着输入端的差值越大，其输出经历很短的线性区，达到饱和区；那么这两个区有什么用呢？🤔

• 线性区：大部分运算放大器工作在这个区间；正反相放大器、差分放大器、求和放大器等；
• 饱和区：典型的应用就是将正弦波转换为方波；

🗝️当运放工作在线性区时，其输出 $V_o$ 与 输入 $V_{in}(=V_{+}-V_{-})$ 的关系可表示为：
$$V_o=A{V}_{in}=A(V_{+}-V_{-})\text{\hspace{1em}(1)}$$
且当 $|V_o|$ 大于运放的电源电压 $V_s$ 时, 输出将变为 $V_s$/$-V_s$ ，因此饱和区有：
$$\begin{array}{c}{V}_o=\{\begin{array}{rl}& V_s,当(A{V}_{in}\ge V_s)\\ & \\ -& V_s,当(A{V}_{in}\le -V_s)\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
由以上关系可知，当 $V_{in}$ 一定时，

• 若想其输出方波，增益 A 需要很大，如1300；
• 若想其放大，增益 A 需要选择合适的值，或者在运放输入端口增加电路；

以上关系详见 图2，其中AC电源为 $sin(2\pi \cdot 3t)$，即幅值为 $1V$，频率 $f=3Hz$ 的正弦交流源。

运算放大器的理想模型特性

👉运放内部简化电路图如下所示：👇

🗝️其中：

• $R_i$ 的阻值非常大，因此可以认为输入电路端的电流非常小，理想情况下小到等于0，即有 $i_{+}=i_{-}=0$ ；
• 由于电流为零，因此输入端的两接口 $V_{+}$、$V_{-}$ 之间的压降为 0，有 $V_{+}-V_{-}=0\Rightarrow V_{+}=V_{-}$ ;

✏️因此，在理想情况下，运算放大器有👇
$$\begin{array}{r}{i}_{+}=i_{-}=0\\ V_{+}-V_{-}=0\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
即 运算放大器的输入正负极的电流为 0，两电压相等，以后所有的放大器和应用电路都将以此为根基推导电路的特性 。

运放运用一：缓存电路

👉使用运算放大器构成的缓存的电路如下：👇

$$\begin{array}{rl}& V_{-}=V_{in},and{V}_{-}=V_o\\ \Rightarrow & V_{in}=V_o\end{array}$$
根据运放的理想模型公式3 有 $V_{in}=V_o$ ，即输入电压等于输出电压，但有 $V_{in}\le V_s$ 。

👉应用场景：假设有一电路，其中 $V_{in}$​ 为DC 10V，且由于电流保护其最大输出5A，现有一电阻 1 Ω：

那么Ro的电压为 5V，因为输出电流受电压源限制！如果在电源和负载之间加上一个运放的缓存电路就不一样了。

🗝️如上图，由于 $V_{in}=V_o$ ，因此 $V_{R_o}=10V$​ ，可见运算放大器具有隔绝电路、增强功率的功效；

正向放大器

👉正向放大器电路如图所示：👇

那么其增益 G 与什么相关呢？🤔

1. 我们先看 $V_{+}$ 这条支路，根据式 3 可得：
   $$\begin{array}{rl}& i_{+}=0\\ \Rightarrow & i_1=0,V_1=R_1\ast i_1=0\\ \Rightarrow & V_{+}=V_{in}\\ 又V_{-}=V_{+}& \\ \Rightarrow & V_{-}=V_{in}\end{array}$$

2. 再看虚线框这条支路，可得：
   $$\begin{array}{rl}& i_3=\frac{V_3}{R_3}=\frac{V_{in}}{R_3}\\ \Rightarrow & V_o=i_3(R_2+R_3)=\frac{V_{in}}{R_3}(R_2+R_3)\\ \Rightarrow & V_o=\frac{R_2+R_3}{R_3}{V}_{in}=(1+\frac{R_2}{R_3})V_{in}\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

🗝️由上可知，正向放大器的增益 $G=(1+\frac{R_2}{R_3})\ge 1$ ，当 $R_2=0$ 时， $G=1$ 。

反向放大器

👉电路连接如下：👇

1. 根据上图和式 3 有：

$$V_{+}=V_{-}=0$$

2. 对电路c1中的 $V_{-}$ 点运用基尔霍夫电流定律(KCL)，假设电流方向按上图所示，且由式3 ：$i_{+}=i_{-}=0$ 得：
   $$\begin{array}{rl}KCL:& \frac{V_{in}-V_{-}}{R_1}=\frac{V_{-}-V_o}{R_f}\\ \Rightarrow & \frac{V_{in}-0}{R_1}=\frac{0-V_o}{R_f}\\ \Rightarrow & \frac{V_{in}}{R_1}=-\frac{V_o}{R_f}\\ \Rightarrow & V_o=-\frac{R_f}{R_1}{V}_{in}\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

👉因此对于反向放大器，其增益 $G=-\frac{R_f}{R_1}$ 。

差分放大器

👉电路连接如下：👇

👉由式 3 和 图中 c1 路可得：
$$V_{+}=V_{-}=\frac{R_2}{R_1+R_2}{V}_2\text{\hspace{1em}(6)}$$
👉对图中电路c2中的 $V_{+}$ 点应用基尔霍夫电流定律，且由式 3 ：$i_{+}=i_{-}=0$ 得：

$$\begin{array}{rl}KCL:& \frac{V_1-V_{-}}{R_1}=\frac{V_{-}-V_o}{R_f}\\ \Rightarrow & \frac{R_f}{R_1}(V_1-V_{-})=V_{-}-V_o\\ \Rightarrow & V_o=V_{-}+\frac{R_f}{R_1}(V_{-}-V_1)\\ \Rightarrow & V_o=\frac{R_f+R_1}{R_1}{V}_{-}-\frac{R_f}{R_1}{V}_1\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$
将式6代入：
$$\begin{array}{rl}\Rightarrow & V_o=\frac{R_f+R_1}{R_1}\frac{R_2}{R_1+R_2}{V}_2-\frac{R_f}{R_1}{V}_1\\ if:R_f=R_{2}to& \\ \Rightarrow & V_o=\frac{R_f}{R_1}(V_2-V_1)\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
👉因此对于差分放大器，其增益 $G=\frac{R_f}{R_1}$，在$R_2=R_f$的前提下，注意$R_2$的位置。

🤔当 $V_2=0$ 时，会发生什么呢？ 是不是有点眼熟？

求和放大器

👉电路连接如下：👇

1. 根据上图和式 3 有：

$$V_{+}=V_{-}=0$$

2. 对图中的 $V_{-}$ 点运用基尔霍夫电流定律(KCL)，假设电流方向按上图所示，且由式 3 ：$i_{+}=i_{-}=0$ 得：
   $$\begin{array}{rl}KCL:& i_1+i_2=i_f\\ \Rightarrow & \frac{V_1-V_{-}}{R_1}+\frac{V_2-V_{-}}{R_2}=\frac{V_{-}-V_o}{R_f}\\ \Rightarrow & \frac{V_1-0}{R_1}+\frac{V_2-0}{R_2}=\frac{0-V_o}{R_f}\\ \Rightarrow & \frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}=-\frac{V_o}{R_f}\\ \Rightarrow & V_o=-\frac{R_f}{R_1}{V}_1-\frac{R_f}{R_2}{V}_2\\ \Rightarrow & V_o=G_1{V}_1+G_2{V}_2\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

👉因此对于求和放大器 $V_o=-\frac{R_f}{R_1}{V}_1-\frac{R_f}{R_2}{V}_2=G_1{V}_1+G_2{V}_2$，其增益 $G_1=-\frac{R_f}{R_1}$, $G_2=-\frac{R_f}{R_2}$。
⚠️由于优快云编辑器能力有限，无法支持html、latex混合解析，连接资源质量更好，有兴趣的小伙伴可以下载看看，同时也支持支持，制作不易，尤其是图和公式😅😅😅