决策单调性优化

最新推荐文章于 2024-08-02 21:58:02 发布

hhhhhhwish

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分类专栏：题解算法文章标签：动态规划算法

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[JSOI2011] 柠檬

题目简述：

1.每一段的左右端点的贝壳大小一定相等，且这一段选定的贝壳一定是左右端点的贝壳大小

2.跟据第一点写出状态转移方程： $f[i]=max(f[j-1]*size[i]*cnt[ ]^{2})$

3.根据第一点也可以知道，状态转移只在相同的颜色之间转移

优化：

决策单调性优化是什么？？？四边形不等式优化 - OI Wiki

我们日常DP的时候通常时在做的是把所有状态更新出来，每一个状态都去算，但是我们知道最优解唯一，那么我们是否可以找到从哪里开始，之后的状态一定是....才会最优？

其次的，我们之所以学DP就是为了解决“各阶段分别贪心得到结果不一定最优”的问题，我们在这里对每一个阶段找断点是否是Fake的呢？？？

《好吧优化当然是真的》但是他之所以正确是因为满足所谓的单调性。这里的单调不是指两条斜率不同的直线巴拉巴拉怎么样，而是指：

（借用【洛谷】P5504 [JSOI2011] 柠檬（决策单调性优化dp） - 曙城 - 博客园的图qwq感谢这篇博客让我学会决策单调性优化）

套用上上图的公式： $f[i]=minD_{i}+g[i]$ ,这里的g[i]是一个二次函数，增长速率快（单调），即使红线起始时低于黑线，但是一定会在某个点超过黑线并且以后都是红线的决策更优，我们要二分查找的就是这个点在哪里。

但是！！！看到这里，有没有觉得特别分裂？？？找到这个点啊然后呢？这个点往哪代啊？

这里的纵坐标是f[~]的具体值，横坐标就是 f 的下标/kel ，更重要的是，对于每一个s[i]，或者说col[i]，是单独一个栈的，没办法把所有颜色放在一起进行优化！！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n,cnt[100010];
int s[100010],f[100010],col[100010];
vector<int>q[100010];
#define qwq(i) q[i][q[i].size()-1]
#define QWQ(i) q[i][q[i].size()-2]
int calc(int j,int sum)
{ return f[j-1]+col[j]*sum*sum; }
int merge(int x,int y)
{
	int l=1,r=n;
	while(l<r)
	{
		int mid=l+r>>1;
		if(calc(x,mid-s[x]+1)>=calc(y,mid-s[y]+1)) r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	if(calc(x,r-s[x]+1)>=calc(y,r-s[y]+1)) return r;
	return n+1;
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&col[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=++cnt[col[i]];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while(q[col[i]].size()>1&&merge(QWQ(col[i]),qwq(col[i]))<=merge(qwq(col[i]),i))
			q[col[i]].pop_back();
		q[col[i]].push_back(i);
		while(q[col[i]].size()>1&&merge(QWQ(col[i]),qwq(col[i]))<=s[i])
			q[col[i]].pop_back();
		f[i]=calc(qwq(col[i]),s[i]-s[qwq(col[i])]+1);
	}
	printf("%lld",f[n]);
	return 0;
}

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