车间作业调度问题（JSSP）描述以及编码解码

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于 2022-08-31 20:35:42 首次发布

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车间作业调度问题

车间作业调度问题（Job Shop Scheduling Problem,JSSP）是经典的组合优化问题，在阅读论文过程中发现了对其描述如下：
给定一组工件 $J = 1, 2, ..., n$ ，要求在一组机器 $M = 1, 2, ..., m$ 上加工完成，满足以下约束条件：
1）每个工件在机器上的加工次序给定；
2）每台机器在任何时刻最多只加工一个工件，工件加工的时间是固定的且工序一旦开始不能被中断；
3）每道工序必须等到其所有的前继工序加工完毕后才能开始加工。
数学描述如下：
$f=min\{max\{c_{ik}\}\} \tag{1}$ s.t. $cik−pik+M(1−aihk)≥cih,i=1,2,....,n;h,k=1,2,...m(2)c_{ik}-p_{ik}+M(1-a_{ihk})\ge c_{ih}, \\i=1,2,....,n;h,k=1,2,...m \tag{2}$ $c_{jk}-c_{ik}+M(1-x_{ijk})\ge p_{jk}, \\ i,j=1,2,....,n;k=1,2,...m \tag{3}$ $cik≥0,i=1,2,...,n;k=1,2,...,m(4)c_{ik}\ge 0,i=1,2,...,n;k=1,2,...,m\tag{4}$
其中，符号 $c_{ik}$ 和 $p_{ik}$ 分别表示工件 $i$ 在机器 $k$ 上的加工完成时间和加工时长； $M$ 是一个足够大的正数； $a_{ihk}$ 和 $x_{ijk}$ 分别为指示系数和指示变量，意义如下：
$a_{ihk}= \begin{cases} 1& \text{若机器$h$先于机器$k$加工工件$i$}\\ 0& \text{非上述情况} \end{cases}\tag{5}$ $x_{ijk}= \begin{cases} 1& \text{若工件$i$先于工件$j$在机器$k$上加工}\\ 0& \text{非上述情况} \end{cases}\tag{6}$
理解：
目标函数（1）中的 $max\{c_{ik}\}$ 表示一系列工件最后一个工件完工的时间。
约束（2）表示，若机器 $h$ 先于机器 $k$ 加工工件 $i$ ，则需保证 $cik−pik≥cihc_{ik}-p_{ik}\ge c_{ih}$ ，即工件 $i$ 在机器 $h$ 上加工完后再到机器 $k$ 上加工。
约束（3）表示，若工件 $i$ 先于工件 $j$ 在机器 $k$ 上加工，则须保证 $cjk−cik≥pjkc_{jk}-c_{ik}\ge p_{jk}$ ，即工件 $j$ 在机器 $k$ 上加工完后才能再加工工件 $i$ 。
约束（4）表示每个工件在每个机器上都要加工。

编码

这里对基于工序的编码方式进行介绍：
每个个体的染色体有所有工序的排序构成，每个基因代表一个工序，同一作业的所有工序由同一作业序号表示，根据他们在染色体排序中的顺序决定他们在不同机器上的加工顺序。对于一个 $n$ 个工件， $m$ 个机器的作业调度问题，每个染色体由 $n×mn\times m$ 个基因组成，每个工件号在染色体中出现的次数为 $m$ 次，同一工件的第 $i$ 次出现表示该工件的第 $i$ 道工序。

解码

这里采用前插式解码，根据给定的染色体，对每个当前工序，从其所在机器的前面开始遍历，如果有时间间隔和约束条件可以满足当前工序，则将其插入该位置。

示例

下面以论文《Optimization of job shop scheduling problems using teaching-learning-based optimization algorithm》中的例子为例。已知的工件对应的操作机器、时间如下表所示，
在这里插入图片描述

假设编码为：1 2 3 1 2 3 2 1 3
那么它对应的时间安排是什么样的呢？
将上述两个表格进行重新整理：

Job	Operation1	Operation2	Operation3
1	1(15)	2(25)	3(18)
2	2(10)	3(20)	1(7)
3	3(8)	1(12)	2(10)

（括号外为这一操作使用的机器，括号内为每一步操作所需时间）
1 表示工件1的第一个操作，在机器1上完成：15min
2 表示工件2的第一个操作，在机器2上完成：10min
3 表示工件3的第一个操作，在机器3上完成：8min
1 表示工件1的第二个操作，在机器2上完成：此时需等待工件1的第一个操作已完成，且机器2有空闲：15min+25min=40min
2 表示工件2的第二个操作，在机器3上完成：此时需等待工件2的第一个操作已完成，且机器3有空闲：10min+20min=30min
3 表示工件3的第二个操作，在机器1上完成：此时需等待工件3的第一个操作已完成，且机器1有空闲：15min+12min=27min
2 表示工件2的第三个操作，在机器1上完成：此时需等待工件2的第二个操作已完成，且机器1有空闲：30min+7min=37min
1 表示工件1的第三个操作，在机器3上完成：此时需等待工件1的第二个操作已完成，且机器3有空闲：40min+18min=58min
3 表示工件3的第三个操作，在机器2上完成：此时需等待工件3的第二个操作已完成，且机器2有空闲：40min+10min=50min
于是该染色体对应甘特图如下：
在这里插入图片描述