《量化绿皮书》Chapter 4 Probability Theory 概率论（一）

《A Practical Guide To Quantitative Finance Interviews》，被称为量化绿皮书，是经典的量化求职刷题书籍之一，包含以下七章：

Chapter 1 General Principles 通用技巧

Chapter 2 Brain Teasers 脑筋急转弯

Chapter 3 Calculus and Linear Algebra 微积分与线性代数

Chapter 4 Probability Theory 概率论

Chapter 5 Stochastic Process and Stochastic Calculus 随机过程与随机微积分

Chapter 6 Finance 金融

Chapter 7 Algorithms and Numerical Methods 算法与数值方法

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目录

 

4.1 Basic Probability Definitions and Set Operations 概率论基础定义和集合操作

**结果 Outcome ($\omega$)：**一个实验的结果

**样本空间 Sample space/概率空间 Probability space ($\Omega$)：**一个实验的所有可能结果的集合。

• $P(\omega )$：一个结果的概率（$P(\omega )⩾0,\forall \omega \in \Omega ,{\sum }_{\omega \in \Omega }P(\omega )=1$）

**事件 Event：**样本空间的一个子集，一组结果的集合

• $P(A)$：事件$A$的概率，$P(A)={\sum }_{\omega \in A}P(\omega )$
• 并集$A\cup B$：在事件$A$或事件$B$中的结果的集合
• 交集$A\cap B(或AB)$：同时在事件$A$和事件$B$中的结果的集合
• 补集$A^c$：不在事件$A$中的结果的集合

互斥 Mutually Exclusive：$A\cap B=\Phi$，$\Phi$：空集

• 对互斥事件$E_1,E_2,\dots ,E_N,P({\bigcup }_{i=1}^N{E}_i)={\sum }_{i=1}^{N}P(E_i)$

**随机变量 Random variable：**将样本空间($\Omega$)中的每个结果($\omega$)映射到实数集合的函数

4.1.1 Coin toss game 抛硬币游戏

两个赌徒在玩抛硬币游戏。赌徒A有n+1枚硬币；赌徒B有n枚硬币。如果A和B抛硬币，A的正面次数比B的正面次数多的概率是多少?

Two gamblers are playing a coin toss game. Gambler A has (n +1) fair coins; B has n fair coins. What is the probability that A will have more heads than B if both flip all their coins?

答案：把A的最后一枚硬币拿出来，比较A的前n枚硬币和B的n枚硬币中正面次数：

• $E_1$：A的前n枚硬币正面次数比B的n枚硬币正面次数多；
• $E_2$：A的前n枚硬币正面次数和B的n枚硬币正面次数相等；
• $E_3$：A的前n枚硬币正面次数比B的n枚硬币正面次数少。

根据对称性可得$P(E_1)=P(E_3)=x,P(E_2)=y,2x+y=1$

• $E_1$：A的n+1枚硬币正面次数一定比B的n枚硬币正面次数多；
• $E_2$：A的n+1枚硬币正面次数比B的n枚硬币正面次数多少取决于A最后一枚硬币的正反，A最后一枚硬币为正面则A多，A最后一枚硬币为反面则一样多，概率都为0.5；
• $E_3$：A的n+1枚硬币正面次数一定不比B的n枚硬币正面次数多。

因此A的正面次数比B的正面次数多的概率为$x+0.5y=0.5$

4.1.2 Card game 纸牌游戏

赌场提供一种简单的纸牌游戏。52张一副牌，2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K、A各4张。每次牌都被彻底洗牌，你从牌堆中拿起一张牌，发牌人再拿一张牌。如果你的数字更大，你就赢了；如果数字相等或你的数字较小，庄家就赢了——和所有其他赌场一样，庄家总是有更大的获胜几率。你获胜的概率是多少?

A casino offers a simple card game. There are 52 cards in a deck with 4 cards for each value 2, 3, 4, 5,6, 7,8, 9,10, J, Q, K, A. Each time the cards are thoroughly shuffled (so each card has equal probability of being selected). You pick up a card from the deck and the dealer picks another one without replacement. If you have a larger number, you win; if the numbers are equal or yours is smaller, the house wins—as in all other casinos, the house always has better odds of winning. What is your probability of winning?

答案：

考虑三种可能的结果：

• $E_1$：你的牌比发牌人的大；
• $E_2$：你的牌和发牌人的相等；
• $E_3$：你的牌比发牌人的少。

根据对称性可得$P(E_1)=P(E_3)$，只需计算$P(E_2)$即可。

假设你随机选择了一张牌，在剩下的51张牌中，只有3张牌与你的牌具有相同的大小，所以两张牌相等的概率是3/51。

因此你获胜的概率为$P(E_1)=(1-P(E_2))/2=(1-3/51)/2=8/17$

考虑你的牌所有13种不同结果，每个数字的概率都为1/13。当数字为2时，获胜的概率为0/51；当数字为3时，获胜的概率为4/51；…，当数字为A时，获胜的概率为48/51。

因此你获胜的概率为$\frac{1}{13}\times (\frac{0}{51}+\frac{4}{51}+\dots +\frac{48}{51})=\frac{4}{13\times 51}\times \frac{12\times 13}{2}=\frac{8}{17}$

4.1.3 Drunk passenger 醉酒的乘客

100名乘客在排队等候登机，假设排队的第n位乘客有一张座位号为n的票。

由于喝醉了，排队的第一个人随机选择了一个座位。其他的乘客都是清醒的，除非已经有人了，否则他们都会回到自己的座位上。如果自己的座位已经有人了，他们会随机选择一个空的座位。你是第100位乘客，你最终坐在你的100号座位上的概率是多少?

A line of 100 airline passengers are waiting to board a plane. They each hold a ticket to one of the 100 seats on that flight. For convenience, let’s say that the n-th passenger in line has a ticket for the seat number n. Being drunk, the first person in line picks a random seat (equally likely for each seat). All of the other passengers are sober, and will go to their proper seats unless it is already occupied; In that case, they will randomly choose a free seat. You’re person number 100. What is the probability that you end up in your seat (i.e., seat #100) ?

答案：只考虑1号和100号座位，有两种可能：

• $E_1$：1号座位在100号之前被占用；
• $E_2$：100号座位在1号之前被占用。

如果有乘客在1号座位被占用之前坐上了100号座位，那么你肯定不会坐在自己的座位上。但如果有乘客在100号座位被占用之前坐了1号**（之后的乘客都会回到自己的座位上）**，你肯定会坐在自己的座位上。

• 如果醉酒的乘客坐上了1号座位，那所有乘客都会回到自己的座位上；
• 如果醉酒的乘客坐上了100号座位，那你就得不到100号座位了；
• 否则，如果醉酒的乘客坐上了n（2-99）号座位，
  • 那2-(n-1)的乘客都会回到自己的座位上，而第n名乘客实际上成为了新的醉酒的乘客，应该坐上1号座位
    • 如果第n名乘客坐上了1号座位，那之后的乘客都会回到自己的座位上。
    • 如果第n名乘客坐上了100号座位，那你就得不到100号座位了
    • 否则，第n名乘客会让另一名乘客成为新的醉酒的乘客，应该坐上1号座位
      • ……

每个新的醉酒的乘客坐1号座位或100号座位的概率是一样的，根据对称性可得$P(E_1)=P(E_2)=0.5$

因此你作为第100位乘客最终坐在你的100号座位上的概率为0.5。

4.1.4 N points on a circle 圆上的N个点

在圆周上随机画N个点，它们都在半圆内的概率是多少?

Given N points drawn randomly on the circumference of a circle, what is the probability that they are all within a semicircle?

答案：

从一个点开始顺时针将N个点标记为1,2,…,N。

随机画点1，剩下的N-1个点都在点1开始的顺时针半圆内的概率为$1/2^{N-1}$

但N个点都在的半圆不一定是在点1开始的顺时针半圆，而是可能在任意点i开始的顺时针半圆，任意点i开始的顺时针半圆包含剩下的N-1个点的概率同样为$1/2^{N-1}$

因此N个点都在半圆内的概率为$N/2^{N-1}$

4.2 Combinatorial Analysis 组合分析

**计数的基本原理 Basic principle of counting：**设$S$为一组长度为$k$的序列，

• $n_1$个可能的第一项
• 对每一个第一项，$n_2$个可能的第二项
• 对每一个第一项和第二项的组合，$n_3$个可能的第三项
• 以此类推

则一共有$n_1\cdot n_2\dots n_k$

**排列 Permutation：**把对象重新排列成不同的顺序

**组合 Combination：**对象的无序集合

二项式定理 Binomial theorem：$(x+y{)}^n={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{}$