洛谷P1823 [COI2007] Patrik 音乐会的等待

原创于 2022-12-14 18:29:17 发布 · 451 阅读

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#算法 #c++ #图论

本文介绍了一个基于单调栈的算法解决方案，用于解决 COI2007 比赛中的 Patrik 音乐会等待问题。该问题要求计算在音乐会上排队的人群中，有多少对人可以互相看见。文章详细解释了如何利用单调栈进行高效计算。

P1823 [COI2007] Patrik 音乐会的等待 - 洛谷

题目描述

$n$ 个人正在排队进入一个音乐会。人们等得很无聊，于是他们开始转来转去，想在队伍里寻找自己的熟人。

队列中任意两个人 $a$ 和 $b$ ，如果他们是相邻或他们之间没有人比 $a$ 或 $b$ 高，那么他们是可以互相看得见的。

写一个程序计算出有多少对人可以互相看见。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $n$ ，表示队伍中共有 $n$ 个人。

接下来的 $n$ 行中，每行包含一个整数，表示人的高度，以毫微米(等于 $10^{-9}$ 米)为单位，这些高度分别表示队伍中人的身高。

输出格式

输出仅有一行，包含一个数 $s$ ，表示队伍中共有 $s$ 对人可以互相看见。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1\le$ 每个人的高度 $2^{31}$ ， $\le n \le 5\times 10^5$ 。

题解

考察单调栈，但不是想象中的容易。事实上很不好做。

首先，题目要求统计人的「对数」，所以规定所有人只能往同一个方向看，不能左右都看，不然会重复统计。由于入栈时是按照输入顺序来的（这样最方便），所以队伍前面的人是已经站在准备入栈的新人前面的，所以所有人统一往队头看，即往栈底看最合适。

假设所有人的身高都是不同的。想象一下按顺序穿过这队人。观察任何一个排队等候的人。如果在A之后，我们遇到了一个更高的B，那么A肯定看不到B之后的任何人。因此，在通过这条队人时，我们可以维护一堆“开放子问题”，其中一个开放子问题是一个A已经在这队人中遇到的人，但A仍然有可能看到我们还没有遇到的人。

很明显，栈上的子问题是按照高度降序排序的(栈顶的子问题=最矮的人)。当我们遇到一个新人时，新人将入栈到栈顶。由于我们维护了栈的单调不增性，这个新人必然要成为栈中最矮的，所有他要往栈底看，看到栈中较矮的所有人，并将更矮的人从栈中移除(关闭他们的子问题)。如果栈在此之后不是空的，则该新人还可以看到栈上剩余的第一个人，显然这个人比新人高，因为他没有被移除。然后这个新人入栈。

那么什么时候统计答案ans？在新人准备入栈时，他从栈顶往栈底看，让所有比他矮的人出栈，这些比他矮的人他都看见了，所以要统计在答案中，所以在出栈时要统计ans；在新人入栈后，他要看一下栈底方向还有没有一位“高人”，如果有，则这是他能看到的最后一个人，所以出栈后也要统计ans。

前面是假设所有人身高不同，因为身高相同的人虽然高度相同，但是属于不同的人，他们能看到的人数不一样。

一种好的解决办法是将身高相同且相邻的人打包成1个人，这个人有一个属性，表示他是由几个这样的人打包来的。所以可以用pair<身高, 身高相同且相邻的人数>来存储每个人。这样，在出栈时的统计就是ans每次累加pair的第二个分量。

#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;
int n;
stack<pair<int, int>> stk;  // first是身高，second是截止到目前连续身高相同的人数
long long ans;
int main() {
    scanf("%d", &n);
    while (n--) {
        int x;
        cin >> x;
        pair<int, int> p(x, 1);
        // 维护一个单调不增栈
        while (!stk.empty() && stk.top().first <= x) {
            if (stk.top().first == x) {
                p.second += stk.top().second;  // 累计连续的(能相互看到的)身高相同的人
            }
            ans += stk.top().second;  // 当前x能看到x左边那个人,多个连续的高度相同的人能互相看到
            stk.pop(); // 将左边更矮(身高相同的人也出栈，因为记录了连续人数，待会回入栈，相当于打包成1个人)的人出栈
        }
        if (!stk.empty())
            ans++;  // 当前x能看到x左边那个人，这个人比x高
        stk.emplace(p); //将x入栈
    }
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}