奇异值分解的Python代码

目录

前言

一、输入矩阵

二、求解特征值&特征向量

1.求ATA特征值&特征向量

2.同理求AAT特征值&特征向量

三、求UVΣ矩阵

1.U矩阵

2.V矩阵

3.Σ矩阵

四、整体代码

总结

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前言

奇异值分解时涉及到特征值分解，而求特征值时要解一个三次方程（三维方阵），因此调用numpy函数直接求出特征值和特征向量，然后求出UVΣ矩阵。

需要调用的包

import numpy as np    

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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

一、输入矩阵

A = np.array([[4, 0, 2 ], 
              [3, -5, 1], 
              [2, 1, 3]])

二、求解特征值&特征向量

1.求ATA特征值&特征向量

调用np.linalg.eig()函数求出特征值和特征向量
因为特征值要从大到小排序，因此调用np.argsort()函数对特征值排序，然后根据索引重新排序特征向量。

eigenvalues_ATA, eigenvectors_ATA = np.linalg.eig(np.dot(A.T, A))
sorted_indices_ATA = np.argsort(eigenvalues_ATA)[::-1]
eigenvalues_ATA_sorted = eigenvalues_ATA[sorted_indices_ATA]
eigenvectors_ATA_sorted = eigenvectors_ATA[:, sorted_indices_ATA]
eigenvectors_ATA_sorted = np.round(eigenvectors_ATA_sorted, 4)#保留四位小数
print("ATA特征值：", eigenvalues_ATA_sorted)
print("ATA特征向量：\n", eigenvectors_ATA_sorted)

2.同理求AAT特征值&特征向量

eigenvalues_AAT, eigenvectors_AAT = np.linalg.eig(np.dot(A, A.T))
sorted_indices_AAT = np.argsort(eigenvalues_AAT)[::-1]
eigenvalues_AAT_sorted = eigenvalues_AAT[sorted_indices_AAT]
eigenvectors_AAT_sorted = eigenvectors_AAT[:, sorted_indices_AAT]
eigenvectors_AAT_sorted = np.round(eigenvectors_AAT_sorted, 4)#保留四位小数
print("AAT特征值：", eigenvalues_AAT_sorted)
print("AAT特征向量：\n", eigenvectors_AAT_sorted)

三、求UVΣ矩阵

此处选择k=2

1.U矩阵

U = eigenvectors_ATA_sorted[:, :2]
print("U矩阵：\n", U)

2.V矩阵

V = eigenvectors_AAT_sorted[:, :2]
print("V矩阵：\n", V)

3.Σ矩阵

np.diag()函数是将一个一维数组转换成一个对角矩阵(除主对角线上其余元素都为0的矩阵)

S = np.diag(np.sqrt(eigenvalues_ATA_sorted[:2]))
S = np.round(S, 4)  # 保留4位小数
print("Σ矩阵：\n", S)

四、整体代码

import numpy as np

A = np.array([[4, 0, 2], [3, -5, 1], [2, 1, 3]])

eigenvalues_ATA, eigenvectors_ATA = np.linalg.eig(np.dot(A.T, A))
sorted_indices_ATA = np.argsort(eigenvalues_ATA)[::-1]
eigenvalues_ATA_sorted = eigenvalues_ATA[sorted_indices_ATA]
eigenvectors_ATA_sorted = eigenvectors_ATA[:, sorted_indices_ATA]
print("ATA特征值：", eigenvalues_ATA_sorted)
print("ATA特征向量：\n", eigenvectors_ATA_sorted)

eigenvalues_AAT, eigenvectors_AAT = np.linalg.eig(np.dot(A, A.T))
sorted_indices_AAT = np.argsort(eigenvalues_AAT)[::-1]
eigenvalues_AAT_sorted = eigenvalues_AAT[sorted_indices_AAT]
eigenvectors_AAT_sorted = eigenvectors_AAT[:, sorted_indices_AAT]
print("AAT特征值：", eigenvalues_AAT_sorted)
print("AAT特征向量：\n", eigenvectors_AAT_sorted)

print("k=2")
U = eigenvectors_ATA_sorted[:, :2]
print("U矩阵：\n", U)

V = eigenvectors_AAT_sorted[:, :2]
print("V矩阵：\n", V)

S = np.diag(np.sqrt(eigenvalues_ATA_sorted[:2]))
print("Σ矩阵：\n", S)

print("SVD分解结果：")
print(U)
print(S)
print(V.T)

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总结

每次只要重新输入矩阵，就可快速得到奇异值SVD分解结果。