博弈论及算法实现

一、巴什博弈（Bash Game）

      只有一堆n个物品，两个人从轮流中取出（1~m）个；最后取光者胜。

      考虑到 若n=m+1 那么 第一个人不论如何取都不能取胜。

      进一步我们发现 若 n=k*(m+1)+r; 先取者拿走 r 个，那么后者再拿（1~m）个

      n=（k-1）*（m+1）+s； 先取者再拿走s 个 最后总能造成 剩下n=m+1 的局面。

      因此，此时先手有必赢策略。

      相对应的，若n=k*(m+1) 那么先取者必输。

      因此我们可以写出对应的程序（默认 n m都大于0）

int Bash_Game(int n,int m)//是否先手有必赢策略
{
    if (n%(m+1)!=0) return 1;
    return 0;
}

 二、尼姆博弈(Nimm Game）

把n堆抽象为n个非负整数,再将n个整数转化为二进制,然后对n个二进制数按位相加(不进位),若每一位相加都为偶数。那么称这个状态为偶状态,否则称它为奇状态.

 可以证明:任何一个偶状态在其中一个数变小后一定成为奇状态,而一个奇状态一定可以通过改变一个数变成偶状态.

   前一点很显然,因为一个数变小至少有一位发生改变,这一位就改变了原来的偶状态. 

对于后一点,对于一个从高位到低位某一位和为奇的奇状态,必定有一个数的二进制表示在此位为1,对于后面的较低位和为奇的情况,只要把这个数对应位取反即可得到一个偶状态.

  XOR 和判断:

  如果有奇数个二进制数在第K位为1 那么在这一位上的和为奇,同样的，偶数个1和为偶.

  很明显位运算xor满足我们的要求,偶数个1异或和为0,奇数个为1;

 由此,终于可以给出算法：

int Nimm_Game(int n)//假设n个数存在数组f[]中,有必胜策略返回1
{
    int f