数字信号处理笔记——时域中的离散时间信号

1 时域表示

连续时间信号

• 连续时间一维信号的连续自变量通常用t表示。例如，x(t)表示连续时间一维信号。
• 一般来说，通过对连续时间一维信号以均匀时间间隔进行采样产生离散时间一维信号。

离散时间信号

• 离散时间一维信号的离散自变量通常用n表示，它是范围在−∞ < n < ∞的整数。例如, {x[n]}表示离散时间一维信号。
• 离散时间一维信号的每个成员x[n]被称为一个样本。注意，x[n]仅对n的整数值存在定义，而在n为非整数时未定义。

1.1 离散时间信号的长度

离散时间序列可以是有限长序列也可以是无限长序列。有限长序列只在有限时间段内有定义：
$$N_1⩽n⩽N_2$$
上面有限长序列的长度或时宽N为：
$$N=N_1-N_2+1$$
无线长离散时间序列有三种:

• 当$n<N_1$时，$x[n]=0$的序列称为右边序列,若$N_1⩾0$,则右边序列通常称为因果序列；
• 当$n>N_2$时，$x[n]=0$的序列称为左边序列,若$N_2⩽0$,则左边序列通常称为反因果序列；
• 当$x[n]$在整个时域范围都有定义,称为双边序列；

1.2 离散时间信号的强度

离散时间信号的强度由该信号序列的范数（norm）来确定：
$$Lp范数:\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^p{)}^{1/p}$$

• 当 p 分别为 1, 2, ∞ 时，N 维信号矢量：
  • 均方根：$||x|{|}_2\sqrt[]{N}$
  • 均方值：$||x|{|}_2^2\sqrt[]{N}$
  • 绝对平均值：$||x|{|}_1\sqrt[]{N}$
  • $\Vert x{\Vert }_2\le \Vert x{\Vert }_1$
  • $\Vert x{\Vert }_{\infty }=max|x[n]|$

2 序列的运算

• 序列的运算有移位、反褶、和、积、累加、差分、抽取、插值、卷积和、相关等。

2.1 基本运算

1. 序列的移位：对序列X[n]，有一整数 𝑘，当 𝑘 > 0时
   x[n - k]是原序列逐项依次右移（延时）𝑘位后的序列
   x[n + k]是原序列逐项依次左移（超前）𝑘位后的序列
2. 序列的反褶：y[n] = 𝑥(−𝑛) 是将 𝑥(𝑛) 关于 𝑛 = 0 反褶得到
3. 序列的和：𝑥(𝑛) + 𝑦(𝑛) ，相同序号的序列值逐项对应相加
4. 序列的积：x(𝑛) ∙ 𝑦(𝑛) ，相同序号的序列值逐项对应相乘
5. 倍率（标量乘法）：𝑎 ∙ 𝑥(𝑛) ，序列各样本值乘以常数𝑎
6. 累加：𝑥(n)的累加序列定义为$y(n)={\sum }_{k=-\infty }^{\infty }x(k)$序列 𝑦(𝑛) 在任一点的值为x(n)在该点及之前所有点的值之和。
7. 差分运算：𝑥(𝑛)的累加序列定义为
   • 前向差分：$\Delta x(n)=x(n+1)-x(n)$
   • 后向差分：$▽x(n)=x(n)-x(n-1)$
   • $▽x(n)=\Delta x(n-1)$
8. 抽取与插值：用于实现速率变换、信号重建等。
   • 抽取（下抽样）：对原始序列 𝑥(𝑛) ，每隔一定的间隔保留一个样本值，并去掉其余样本
   $$y(n)=x(nM)$$
   • 插值（上抽样）：抽取的逆运算
   $$y[n]=\{\begin{array}{c}x(n/M),n=0,\pm L,\pm 2L\cdots ,\\ 按指定规律获取的值,others\end{array}$$

2.2 卷积和

• 卷积和是系统分析的重要运算工具。在已知系统单位冲激响应条件下，求系统在一定输入信号激励下的输出，就要用到卷积和运算。定义如下：
  $$\begin{gathered} y(n)=x(n)⨂h(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }x(m)h(n-m) \\ \underline{m^{\prime }=n-m}\sum _{m^{\prime }=\infty }^{-\infty }x(n-m^{\prime })h(m^{\prime })=\sum _{m^{\prime }=-\infty }^{\infty }h(m^{\prime })x(n-m^{\prime }) \\ =h(n)⨂x(n)=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h(m)x(n-m) \end{gathered}$$
  卷积运算后的序列长度:x(n)的长度为M，y(n)的长度为n,x(n)和y(n)卷积后的长度为M+N-1
  卷积运算: 基本方法
  1. 根据卷积定义求解
  2. 图解法
  3. 列表法
     卷积的实际应用：
• 卷积完全描述了线性时不变系统的特性。
• 回声滤波器：回声可简单地通过对信号延迟产生。例如，将原始声音和一个经历了R个采样点延迟之后的回声组合，可产生下式所表达的混响信号：
  $$y[n]=x[n]+\alpha x[n-R]$$
• 更复杂的混响信号由多个路径的回声组合而成：
  $$y[n]=x[n]+{\alpha }_{1}x[n-R_1]+\cdot \cdot \cdot +{\alpha }_{k}x[n-R_k]$$
• 定义系统冲激响应 h[n]，令 h[0] = 1 且 $h[n-R_k]={\alpha }_k$，则上式等价于卷积运算：
  $y[n]=x[n]⨂h[n]$

2.3 抽样率转换

从给定序列生成抽样率高于或低于它的新序列的运算称为抽样率转换，若$x[n]$是抽样率为$F_{T}Hz$的序列，由它得到所需抽样率为$F{1}_{T}Hz$的另一个序列$y[n]$,则抽样转换比为：
$$R=\frac{F{1}_T}{F_T}$$
若$R>1$，该系统称为内插器，若$R<1$，该系统称为抽取器。

3 有限长序列的运算

3.1 圆周时间反转运算

用模运算可以对有限长序列进行时间反转运算来得到和原序列定义在相同时间序号n值范围内的新序列。模运算用记号表示为：
$$<m{>}_N=m模N$$

3.2 序列的圆周平移

用圆周时移运算可以对有限长序列进行时移运算来得到和原序列具有相同n值范围且相同长度的另一个序列。
长度为N的序列$x[n]$以数量$n_0$进行圆周平移定义为：
$$x_c[n]=x[<n-n_0{>}_N]$$

3.3 序列的分类

1. 按长度划分：

• 离散时间信号可以是有限长序列，也可以是无限长序列。
• 有限长 (有限时宽或有限范围) 序列只在有限时间段 N1 ⩽ n ⩽ N2 内有定义，其中$-\infty <N1，N2<\infty$ 且 N1 ⩽ N2。
• 上述有限长序列的长度或时宽是多少？ N = N2 − N1 + 1
• 有限长序列的长度可以通过补零运算来增加，例如在序列前后填充零值。
• 无限长序列可以分为以下几类：
  • 右边序列: x(n) = 0 ，n < N1 (因果序列 若 N1 ⩾ 0)
  • 左边序列: x(n) = 0 ，n > N2 (反因果序列 若 N2 ⩽ 0)
  • 双边序列: $x(n)\ne 0$， $-\infty ⩽n⩽\infty （n\in Z）$

2. 按对称性划分

奇偶对称性：

• 任意实数序列 x[n] 都可以表示为偶分量和奇分量之和的形式：
  x[n] = xev[n] + xod[n]
  • 偶分量：
    $x_{ev}[n]=1/2(x[n]+x[-n])$
  • 奇分量：
    $x_{od}[n]=1/2(x[n]-x[-n])$

共轭对称性：

• 任何复数序列都可以表示为共轭对称 (CS) 部分与共轭反对称 (CA) 部分之和:
  $$x[n]=xcs[n]+xca[n]$$
• 共轭对称 (CS) 序列：
  $x[n]=x\ast [-n]$
  $x_{re}[n]+j\cdot x_{im}[n]=x-re[-n]-j\cdot x_{im}[-n]$
  $x_{re}[n]=x_{re}[-n]$
  $x_{im}[n]=-x_{im}[-n]$
• 共轭反对称 (CA) 序列：
  $x[n]=-x\ast [-n]$
  $x_{re}[n]=-x_{re}[-n]$
  $x_{im}[n]=x_{im}[-n]$

3. 按周期性划分

• 若 x(t) 或 x[n] 表示周期信号/序列，意味着存在一个 T > 0 或 N ∈ Z，使得：
  $$x(t)=x(t+T)或x[n]=x[n+N]$$
• 如果不存在这样的 T 或 N，那么 x(t) 或 x[n] 为非周期信号/序列。
• 对于离散时间正弦序列 x[n] = A cos(ω0n + ϕ), 当：$$N=2\pi r{\omega }_0\in Z,\forall r\in Z$$此时满足条件：x[n] = x[n + N], 则 x[n] 是周期序列。
  否则, x[n] 是非周期序列（同样适用于指数序列）。
  为了保证正弦/指数序列的周期性，N 应为整数 $\Rightarrow$ $\omega 0=2\pi \cdot rN$应为 π 的有理倍数

4. 按能量来分
   离散时间信号的强度由该信号序列的范数（norm）来确定：
   $$Lp范数:\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^p{)}^{1/p}$$

• 当 p 分别为 1, 2, ∞ 时，N 维信号矢量：

  • 均方根：$||x|{|}_2\sqrt[]{N}$
  • 均方值：$||x|{|}_2^2\sqrt[]{N}$
  • 绝对平均值：$||x|{|}_1\sqrt[]{N}$
  • $\Vert x{\Vert }_2\le \Vert x{\Vert }_1$
  • $\Vert x{\Vert }_{\infty }=max|x[n]|$

• 信号的总能量：
  $${}_x=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2=||x|{|}_2^2$$

  • 能量信号 (Ex < ∞)：有限长序列、总能量有限的无限长序列。

• 平均功率：
  $$P_x=li{m}_{k\to \infty }\frac{1}{2K+1}\sum _{n=-K}^K|x[n]{|}^2$$

  • 功率信号 (0 < Px < ∞): 周期序列、具有非零有限平均功率的非周期序列。
    有界序列: 若存在某个有限值 $B_x<\infty$，使得序列 x[n] 满足$|x[n]|⩽B_x,\forall n\in Z$,则称序列 x[n]是有界的（Bounded）。
    绝对可和序列: 若序列 x[n] 满足条件${\sum }_{n=-\infty }^{\infty }|x[n]|<\infty$则称序列 x[n] 是绝对可和的（Absolutely Sunmable）。
    平方可和序列: 若序列 x[n] 满足条件$${\sum }_{n=-\infty }^{\infty }|x[n]{|}^2<\infty$ 则称序列 x[n] 是平方可和的（Square Summable）。

$$一个平方可和序列能量有限\Rightarrow 它也是能量信号$$

4 典型序列与序列表示

4.1 一些基本序列

单位抽样（冲激）序列$\delta [n]$:
$$\delta [n]=\{\begin{array}{c}1,n=0\\ 0,n\ne 0\end{array}$$
单位阶跃序列$u[n]$:
$$u[n]=\{\begin{array}{c}1,n⩾0\\ 0,n⩽0\end{array}$$
矩形序列$R_N(n)$
$$R_N[n]=\{\begin{array}{c}1,0⩽n⩽N-1\\ 0,others\end{array}$$
实指数序列$x(n)=a^n$,a为实数
复指数序列$x(n)=e^{\sigma +j\omega )n}$
正弦型序列$x(n)=Acos(n{\omega }_0+\varphi )$，其中$A,\omega ,\varphi$分别为信号的幅度、频率、初相位。

5 抽样过程

通常离散时间序列是通过对连续时间信号$x_a(t)$均匀采样得到的：
$$x[n]=x_a(t){|}_{t=nT}=x_a(nT)$$
式中，连续时间信号的时间变量t与离散时间信号的时间变量n只在离散时刻$t_n$相关联，关系为：
$$t_n=nT=\frac{n}{F_T}=\frac{2\pi n}{{\Omega }_T}$$
其中，$F_T=1/T$表示抽样频率，而${\Omega }_T=2\pi F_T$表示抽样角频率。

6 信号的相关

6.1 定义

互相关序列$r_{xy}[l]$表示一对能量信号x[n]和y[n]之间相似性的度量, 其定义为（假设式中的无限求和收敛）：
$$r_{xy}[l]\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]y[n-l],l=0,\pm 1,\pm 2,...$$
参数$l$称为时滞，表示这一对信号间的时移。
下标的顺序表明 x[n] 是参考序列，它在时间上保持固定，而 y[n] 是目标序列，它相对于参考序列做平移。
如果将 y[n] 作为参考序列而 x[n] 作为目标序列，则相应的互相关序列为：
$$r_{yx}[l]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }y[n]x[n-l]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }y[m+l]x[m]=r_{xy}[-l]$$
可以看出，$r_{yx}[l]$ 是序列$r_{xy}[l]$经过时间反转得到的。

序列 x[n] 的自相关序列为：
$$r_{xx}[l]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]x[n-l]$$
注意: $r_{xx}[l]=r_{xx}[-l]$，即当 x[n] 为实序列时，$r_{xx}[l]$ 是偶序列。
注意: 当 l = 0 时，
$$r_{xx}[0]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n{]}^2={ϵ}_x$$
$r_{xx}[0]$ 等于信号 x[n] 的能量
自相关序列$r_{xx}[l]$ 满足
$$r_{xx}[\ell ]=r{\ast }_{xx}[-l]$$
已知两个有限能量序列 x[n] 和 y[n]，则组合序列 z[n] = ax[n] + y[n − l] 的能量也是有
限且非负的.
根据互相关的性质，通过令 y[n] = x[n]，可以得到自相关序列样本的上界：
$$|r_{xx}[l]|\le r_{xx}[0]$$

周期序列的自相关序列也是周期序列

卷积与相关

相似之处:
1 x[n] 与 y[n] 的卷积运算 ⇐⇒ x[n] 与 y∗[−n] 的相关运算
2 卷积运算 ⇐⇒ 相关运算（当 y[n] 是共轭对称序列）
不同之处:
1 卷积运算满足交换律 vs. 相关运算不满足交换律
2 卷积运算可描述系统 vs. 相关运算度量相似性

6.2 自相关与互相关序列的性质

已知两个有限能量序列$x[n],y[n]$，现在，组合序列$ax[n]+y[n-l]$的能量也是有限且非负的，即
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }(ax[n]+y[n-l]{)}^2=a^2{r}_{xx}[0]+2a{r}_{x}y[l]+r_{yy}[0]⩾0$$
其中，$r_{xx}[0]={\xi }_x>0,r_{yy}={\xi }_Y>0$,分别表示$x[n],y[n]$的能量。
上式可重写为：
$$\left[\begin{array}{cc}a& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{r}_{xx}[0]& r_{xy}[l]\\ r_{xy}[l]& r_{yy}[0]\end{array}\right]⩾0$$
即：
$$r_{xx}[0]r_{yy}[0]-r_{xy}^2[l]⩾0$$
若设$y[n]=x[n]$,则上式可简化为
$$|r_{x}x[l]|⩽r_{xx}[0]={\xi }_x$$
它指出零时滞（l=0)时，自相关序列取最大值。

6.3 相关的归一化形式

为了方便比较和显示，常用自相关和互相关的归一化形式：
$$\begin{gathered} {\rho }_{xx}[l]=\frac{r_{xx}[l]}{r_{xx}[0]} \\ {\rho }_{x}y[l]=\frac{r_{xy}[l]}{\sqrt{r_{xx}[o]r_{yy}[0]}} \end{gathered}$$
其中，${\rho }_{xx}[l]⩽1,{\rho }_{xy}[l]⩽1$，且与$x[n],y[n]$的值的范围无关。

6.4 计算功率和周期信号的相关

对于功率和周期信号，自相关和互相关序列的定义略有不同。
对于一对功率信号$x[n],y[n]$，其互相关序列定义为：
$$r_{xy}[l]=li{m}_{K\to \infty }\frac{1}{2K+1}\sum _{n=-K}^{K}x[n]y[n-l]$$
而$x[n]$的自相关序列为：
$$r_{xx}[l]=li{m}_{K\to \infty }\frac{1}{2K+1}\sum _{n=-K}^{K}x[n]x[n-l]$$
同样，若$x[n],y[n]$是周期为N的两个周期信号，则其互相关序列为：
$$r_{xy}=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]y[n-l]$$
而$x[n]$的自相关序列为：
$$r_{xx}=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]x[n-l]$$
从上面的定义可知$r_{xx}[l],r_{xy}[l]$也是周期为N的周期序列。