哈希表

哈希表

哈希表的关键是哈希函数，以及如何处理冲突。常见的处理冲突的方法有拉链法和开放寻址法。

1）拉链法

使用数组实现的哈希表如图所示，数组中每个槽对应一条单链表。插入操作的基本原理是：根据哈希函数给出的哈希值，判断数组中该位置是否被占用，如果没有，则插入到此位置，如果被占用，则插入到单链表的头部（头插法）。查询操作的基本原理是：根据哈希函数给出的哈希值，如果数组中该位置没被占用，则代表查询的值不存在，如果该位置被占用，则在位置对应的单链表中顺序查找。

算法题中，哈希表一般只有插入和查找操作。如果要实现删除操作的话，不会直接对数组进行删除，一般是再创建一个布尔数组，对需要删除的元素打个标记（如上图所示）。

2）开放寻址法

只需使用一个一维数组来存储，且数组长度需为一个质数，经验上取为输入数据量的2~3倍。插入操作的基本原理是：根据哈希函数的哈希值，判断数组中该位置是否被占用，如果没有，则插入到此位置，如果被占用，就再看下一个位置是否被占用，直到找到一个没被占用的位置插入。查询操作的基本原理是：根据哈希函数的哈希值，判断数组中该位置是否被占用，如果不被占用，则查询的值不存在，如果被占用，则比较该位置的值与查询到值是否相等，相等则表示查询的值存在，不相等的话继续看下一个位置，并重复前述的判断。

如果碰到要实现删除操作，也是不会直接对数组元素进行删除，而是再创建一个布尔数组，对需要删除的元素在新数组的相应位置打上标记。

如果碰到要手写简易哈希表的情形，推荐使用开放寻址法，代码比较简单，不易出错。代码模板如下：

// 数组初始化，应初始化成一个输入中不可能出现的值，下面用null表示
// N为输入数据量的2~3倍
int[] h = new int[N];
for(int i = 0; i < N; i ++) h[i] = null;

// 如果x在哈希表中，返回x所在数组中的下标；如果x不在哈希表中，返回x应该插入的位置
public int find(int x){
    int t = (x % N + N) % N;   // 防止x为负数时取余运算的结果出错
    while(h[t] != null && h[t] != x){
        t ++;
        if(t == N) t = 0;
    }
    return t;
}

字符串哈希

计算出字符串任一子串的哈希值，包括如下内容：

1）求出字符串的哈希值

可将字符串看成一个$P$进制的数（$modQ$），经验上$P$取131或13231，$Q$取$2^{64}$时出现冲突的概率很低。

例如，对于字符串"abcd"，可看作$P$进制数，转换成十进制数为$(a\ast P^3+b\ast P^2+c\ast P^1+d\ast P^0)modQ$。

2）求出字符串的前缀哈希

例如对于字符串"abcd"，需预处理出下面这些前缀字符串的哈希值：

子串	哈希值
“”	$h[0]=1modQ$
“a”	$h[1]=a\ast P^{0}modQ$
“ab”	$h[2]=(a\ast P^1+b\ast P^0)modQ$
“abc”	$h[3]=(a\ast P^2+b\ast P^1+c\ast P^0)modQ$
“abcd”	$h[4]=(a\ast P^3+b\ast P^2+c\ast P^1+d\ast P^0)modQ$

3）对于字符串的任意子串，假设起始索引为$l$，终止索引为$r$（包括在内），那么，该字符串子串的哈希值为$h[r]-h[l]\ast P^{r-l+1}$。

有个小技巧是，取模的数用$2^{6}4$，这样直接用unsigned long long存储，溢出的结果就是取模的结果。由于数值很大通常会溢出，而java中的long类型又为有符号整型，这里给出C++代码。代码模板如下：

// 假设字符串用char类型数组str[1...n]来存储与，起始位置为1，长度为n

typedef unsigned long long ULL;
ULL h[N], p[N];   // h[k]存储字符串前k个字母的哈希值，p[k]存储P^k mod 2^64

// 预处理
p[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i ++){
    p[i] = p[i - 1] * P;
    h[i] = h[i - 1] * P + str[i];
}

// 计算子串str[l~r]的哈希值
ULL get(int l, int r){
    return h[r] - h[l] * p[r - l + 1];
}

上述字符串哈希看起来可能没啥用，但在有些场景下还是可以应用起来以达到优化的目的：

• 在经过预处理后，可以在$O(1)$的时间内判断字符串的任意子串是否相等。
• 在一些以String作为key的哈希表中，查询的时候并不是$O(1)$，而与字符串的长度有关，这一时间复杂度常会被遗漏掉。可以考虑将这些作为key的字符串转换成对应的哈希值，这样的话可将查询的时间复杂度优化至$O(1)$。