Shor‘s量子算法

最新推荐文章于 2025-03-19 13:58:53 发布

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文章标签：算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_54373077/article/details/145824435

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设要分解的合数为 N，其两个未知质因数为 p 和 q。Shor算法通过以下步骤实现分解：

随机选择整数 a:
选取 a 满足 1<a<N 且 gcd⁡(a,N)=1。若 gcd⁡(a,N)≠1，则已找到因数；否则进入下一步。
寻找 a 的阶 r:
找到最小的正整数 r，使得 $a^{r}\equiv 1modN$ 。
- 若 r 为奇数或 $a^{r/2}\equiv -1modN$ ，需重新选择 a。
- 否则，利用 $gcd(a^{r/2}\pm 1,N)$ 得到 N 的因数。

Shor算法通过量子相位估计快速找到 a 的阶 r。其步骤如下：

在模 N 的加法群 ZN 上定义酉算子 $M_{a}$ ，其作用为：

$M_{a}|x\rangle = | (ax) mod N \rangle$

由于 a 与 N 互质， $M_{a}$ 是置换矩阵，其本征值为单位根 e2πik/r，其中 k∈Zr。

初始化量子寄存器:
$| \Psi \rangle=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x=0}^{N-1}|x\rangle|0\rangle$
应用量子傅里叶变换（QFT）:
对第一个寄存器应用 QFTN，得到：
$| \Psi \rangle=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}e^{2\pi ixy/N}|y\rangle|0\rangle$

通过受控 $M_{a}$ 操作，将相位信息编码到量子态中：

$| \Psi \rangle=\frac{1}{N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}e^{2\pi ixy/N}|y\rangle|(a^{x}) mod N \rangle$

测量第二个寄存器后，第一个寄存器的态坍缩为与 r相关的周期函数。应用 $QFT^{-1}$ 提取相位 s/r，其中 s 是整数。通过连分数展开逼近s/r，得到 r。

假设已成功找到阶 r，且 r 为偶数，满足 $a^{r/2}\not\equiv -1modN$ ，则

$(a^{r}-1)(a^{r}+1)\equiv 0 ,mod N$

由于 $a^{r/2}\not\equiv \pm 1modN$ ，N必须与 $a^{r/2}\pm1$ 有平凡公因子，通过计算：

$gcd(a^{r/2}+1,N)$ 和 $gcd(a^{r/2}-1,N)$

即可得N的因数

4.示例：分解 N=15的完整过程

选择 a=2:
gcd⁡(2,15)=1，进入下一步。
寻找阶 r:
计算 $2^{1}=2mod 15$ ， $2^{2}=4mod 15$ ， $2^{3}=8mod 15$ ， $2^{4}\equiv 1mod 15$ ，故 r=4。
验证条件:
r=4为偶数，且 $2^{2}=4\not\equiv -1mod 15$ 。
计算公因数:
gcd⁡(4−1,15)=3, gcd⁡(4+1,15)=5..
成功分解 15=3×5。