三对角矩阵存储

三对角矩阵是一种特殊的方阵，其特点是除了主对角线和与主对角线相邻的上下两条对角线上有非零元素外，其余位置的元素均为零。三对角矩阵的存储方式主要有以下两种：

• 行优先存储方式：先存储三对角矩阵的第 0 行的非零元素，然后存储第 1 行的非零元素，以此类推。如果假设三对角矩阵 A 是 n 行 n 列的方阵，那么一共存储了 3n - 2 个非零元素，即存储非零元素的一维数组 a 的长度为 3n - 2。对于给定的原始矩阵的行列索引 (i, j)，若 | i - j|>1，则 A (i, j)=0，否则 A (i, j)=a (2 * i + j)。
• 列优先存储方式：先存储三对角矩阵的第 0 列的非零元素，然后存储第 1 列的非零元素，以此类推。同样假设三对角矩阵 A 是 n 行 n 列的方阵，存储非零元素的一维数组 a 的长度为 3n - 2。对于给定的索引 (i, j)，若 | i - j|>1，则 A (i, j)=0，否则 A (i, j)=a (2 * j + i)。

这种压缩存储方式可以节省大量的存储空间，特别是对于大型的三对角矩阵。同时，在进行矩阵运算时，也可以根据存储方式的特点，设计相应的算法来提高计算效率。

以下是关于数据结构中三对角矩阵的一些知识点：

1. 定义与特点：三对角矩阵是一种特殊的方阵，除了主对角线以及与主对角线相邻的上下两条对角线上有非零元素外，其余位置的元素均为零。对于一个n×n的三对角矩阵A，当∣i−j∣>1时，A(i,j)=0，其中i、j分别表示行索引和列索引。
2. 存储方式：
   • 行优先存储：先存储三对角矩阵的第0行的非零元素，然后存储第1行的非零元素，以此类推。若三对角矩阵A是n行n列的方阵，需存储3n−2个非零元素，存储在一维数组a中。给定索引(i,j)，若∣i−j∣>1，则A(i,j)=0，否则A(i,j)=a(2i+j)。
   • 列优先存储：先存储三对角矩阵的第0列的非零元素，再存储第1列的非零元素，依此类推。同样对于n行n列的方阵，存储非零元素的一维数组a长度为3n−2。给定索引(i,j)，若∣i−j∣>1，则A(i,j)=0，否则A(i,j)=a(2j+i)。
3. 性质1：
   • 所有n×n三对角矩阵的集合组成一个3n−2维向量空间。
   • 三对角矩阵是海森堡矩阵。若实三对角矩阵A满足ak,k+1​ak+1,k​>0，即元素符号都为正，那么它相似于一个埃尔米特矩阵，特征值都是实数；若ak,k+1​ak+1,k​≥0，结论也成立。
   • 三对角矩阵的行列式能用特定的递归公式计算，计算量是线性n，而一般矩阵的行列式计算复杂度是n的三次方。
4. 应用场景：在数值计算中非常常见，特别是在求解线性方程组、特征值问题等场景中，可利用其特性采用特殊算法（如托马斯算法）来加速计算过程。在物理、工程等领域，很多微分方程的离散化也会产生三对角矩阵。
5. 相关算法：例如求解三对角矩阵线性方程组的托马斯算法，它利用三对角矩阵的特殊结构，通过追赶法来高效地求解方程组，计算复杂度为O(n)，相比一般的高斯消元法等算法，在处理三对角矩阵时具有更高的效率。