【数据结构】败者树的建树与比较过程

已于 2023-12-22 13:30:28 修改
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分类专栏： 数据结构与算法 文章标签： 数据结构
于 2023-11-02 20:59:52 首次发布
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前置知识

归并段

  • 外部排序算法通常用于处理大规模数据，其中数据量远超过计算机内存的容量。由于内存无法一次性容纳全部数据，因此需要将数据划分为较小的片段进行排序，在排序过程中将这些片段合并成一个有序的序列
  • 这些归并段内部是有序的，各个归并段之间无序
  • 如图，有 3 个归并段，内部升序
    在这里插入图片描述

建树过程

  • 假设有 5 个节点，给这些节点编号
    在这里插入图片描述

  • 17 是 0 号节点，5 是 1 号节点，…，15 是 4 号节点

  • 为每个节点创建一个根节点，根节点的值是其编号，叶子节点是值
    在这里插入图片描述

  • 从子树中任意挑选两个子树的根节点进行比较，比较对应的值，假设比较规则是：值小的胜出
    本例中，初始有 5 棵子树

  • 比较顺序是任意的，假设根节点为 0 和 1 对应子树进行比较，取出根节点对应的值，5 < 17，5 胜出

    • 除去两棵子树的根节点后，胜者的根节点作为两棵子树的爷节点，败者的根节点作为两棵子树的父节点
    • 即 0 作为父节点，1 作为爷节点

    在这里插入图片描述

  • 比较根节点为 3 和 4 对应子树，取出根节点对应的值，15 < 29，15 胜出
    3 作为父节点，4 作为爷节点
    在这里插入图片描述

  • 比较根节点为 1 和 2 对应的子树，5 < 10，5 胜出
    1 作为爷节点，2 作为父节点
    在这里插入图片描述

  • 比较根节点为 1 和 4 对应的子树，5 < 15，5 胜出
    1 作为爷节点，4 作为 父节点
    在这里插入图片描述

  • 可以看出，根节点是 1，其对应的值是 5，也就是{17, 5, 10, 29, 15} 中的最小值，共比较 4 次
    败者树构建完成

比较过程

  • 将根节点 1 对应的值 5 进行输出，假设编号 1 所在的归并段还有元素需要比较，是 44

  • 败者树需要调整，将根节点重新和编号 1 对应的值进行组合
    在这里插入图片描述

  • 根节点为 0 和 1 的子树进行比较，17 < 44，17 胜出
    0 作为爷节点，1 作为父节点
    在这里插入图片描述

  • 根节点为 0 和 2 的子树进行比较，10 < 17，10 胜出

    2 作为爷节点，0 作为父节点在这里插入图片描述

  • 根节点为 2 和 4 的子树进行比较，10 < 15，10 胜出

    2 作为爷节点，4 作为父节点

    在这里插入图片描述

  • 可以看出，根节点是 2，其对应的值是 10，也就是{17, 44, 10, 29, 15} 中的最小值，共比较 3 次，比建树时找到最小值所需的比较次数（5次）少

疑问

为什么比较次数减少了？

  • 在刚才的例子中，44 没有和 4 的右子树进行比较，这是为什么呢？
    在这里插入图片描述

    • 败者树中，两棵子树的合并规则是：胜者根节点做爷节点，败者做父节点
      因此，编号 3 是败者，编号 4 是胜者

    • 新节点 x 只需要和胜者 y 比较即可

      • 若 x < y，那么 x 可以做根节点，而 y 做父节点
      • 反之 y 做根节点，而 x 做父节点

    • 换句话说，在设定的比较规则中（值小的获胜），我们只关心获胜者（谁是最小的），而不关心节点比哪些节点大

      • 有 2 个集合 A，B，我们想找到两个集合的最小值
        A 集合的最小值是 x
        B 集合的最小值是 y

        显然，要选出最小值，只要比较 x 和 y 即可，若 x < y，那么 x 就是 A 和 B 中最小的，y 比 A 中的哪些元素小，我们并不关心在这里插入图片描述

如果某个归并段的元素一直获胜，没有元素了怎么办？

处理方法 1

  • 记录归并段的元素个数，若某个归并段没有元素，则在输出其根节点对应的值后，移除这课子树

  • 编号 1 对应的归并段没有元素了，那么输出 5，并移除 5 对应的子树，移除后的败者树被破坏了
    在这里插入图片描述

  • 0 和 2 需要重新比较
    在这里插入图片描述

  • 2 和 4 重新比较
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  • 败者树又构建好了（ヾ(•ω•`)o）
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处理方法 2

  • 可以填充一个“最大值”，保证所有元素都比最大值小，那么这个最大值就不会在接下来的比较中胜出

  • 1 对应的 5 输出，而 1 合并的是 2 和 4

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  • 假设 999 是最大的值了，类似方法 1，调整一下败者树的结构

在这里插入图片描述
2 对应的 10 是 {17, 999, 10, 29, 15} 中的最小值

败者树
qq_36314864的博客
06-06 4961
在上节讨论过，归并趟数S=⌈logmr⌉，增加归并路数m可以减少归并趟数S，进而减少访问外存的次数(I/O次数)。然而，增加归并路数m时，内部归并的时间将增加。做内部归并时，在m个元素中选择关键字最小的记录需要比较m-1次。每趟归并n个元素需要做(n-1)(m-1)次比较，S趟归并总共需要的比较次数为 S(n-1)(m-1)=⌈logmr⌉(n-1)(m-1)=⌈logmr⌉(n-1)(m-1)/⌈log2m⌉ 式中，⌈logmr⌉(n-1)在初始归并段个数r与记录个数n定时是常数，而(m-1)/⌈log2
[选择树] 胜者树 | 败者树
geodoer
11-18 3820
选择树： 先用一个较大的时间复杂度将一些元素建成满足一定要求的树 每次处理，只会破坏树的部分结构 所以，局部调整即可恢复结构，从而降低时间复杂度 堆 【堆】一种数据结构，可以把堆看成一棵完全二叉树 这棵完全二叉树满足：任何一个非叶结点的值都不大于（或不小于）其左右孩子结点的值 大顶堆：父亲大孩子小 小顶堆：父亲小孩子大 【应用】 堆排序：https://blog.youkuaiyun.com/sum...
败者树（数据结构与算法习题）
12-14
数据结构与算法课程的一道作业题，外排序中败者树的实现。
败者树构建与调整详解（含测试代码）
weixin_51737049的博客
12-01 1112
此文仅记录学习过程，详细讲解了败者树的构建过程以及构建完毕之后的调整。背景：在leetcode刷题时，遇到23.合并K个升序链表。第一时间就想到了外部排序用到的败者树，但是其数据结构让我一时半会难以想到如何构造，看来如果只是看一遍算法的话还是无法深刻理解其本质。（虽然可以用优先队列的小根堆可以做题目来，但是学习不是固地自封）反省：学习途中遇到的算法应该自己实现一遍，知道其中核心细节以及其主要用途，转化为自己的知识。
创建一颗败者树
xiezhi123456的博客
02-18 3757
败者树是计算机科学学科里的一种数据结构。可用于外部排序中提高效率。败者树实际上是一棵完全二叉树，可以看做是胜者树的一种变体。败者树简化了重构。败者树的重构只是与该结点的父结点的记录有关，而胜者树的重构还与该结点的兄弟结点有关。败者树中每个叶子结点存放各归并段在归并过程中当前参加比较的记录，每个非叶子结点记忆其两个子女结点中记录排序码小的结点(即败者)。 注意，败者树的重构跟胜者树是不一样的，败者...
数据结构实践——败者树归并模拟
weixin_34228662的博客
12-09 159
本文是针对[数据结构基础系列(10)：外部排序]中的实践项目。 【项目】败者树归并模拟 　　编写程序，模拟改者树实现5路归并算法的过程。 　　设有5个文件，其中的记录的关键字如下： 　　F0:{17,21,∞}　F1:{5,44,∞}　F2:{10,12,∞}F3: {29,32,∞} F4: {15,56,∞} 　　要求将其...
败者树建立过程图示
五月花
10-09 6913
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C++代码，数据结构-外部排序-败者树
y519476132的专栏
03-23 1643
败者树是树形选择排序的一种变型，它的每个非终端结点表示左右孩子中的败者，至于为什么要使用败者树，而不是胜者树，这个问题我在网上也没有寻找到答案，可能在建立树的调整树的时候败者树更加符合外部排序的要求吧，  注：建立败者树的过程，，这个最好用图画出来比较好理解， #include using namespace std; #define k 5 typedef int Losertree
[排序] 外部排序 - 选择置换排序|最佳归并树|败者树
geodoer
10-16 4837
文章目录外部排序归并排序法【第一阶段】初始归并段的生成（置换-选择排序方法）【可选步骤】最佳归并树的建立（哈夫曼树）【第二阶段】归并阶段（用败者树选择每个归并段的最小值）参考文章 外部排序 【为什么要外部排序？】 CPU只能操作内存，不能支持操作外存，它只能从外存中读入数据到内存中处理 内存相对外存来说是非常小的。如果文件中的数据量很大，大到内存无法一次性把所有数据读入到内存，这时就没有办法一次...
数据结构之排序篇最后讲-外部排序
qq_43607916的博客
08-12 1004
外部排序 （跟胜利者比较）
[数据结构与算法] 汇总-notes（考试记忆版）
geodoer
12-24 444
树 1.一颗二叉树的度可以小于2 2.n0=1+n2+2∗n3+...+(m−1)∗nmn_0=1+n_2+2*n_3+...+(m-1)*n_mn0​=1+n2​+2∗n3​+...+(m−1)∗nm​ 3.n=2h−1n=2^h-1n=2h−1 4.层结点树=2h−1层结点树=2^{h-1}层结点树=2h−1 5.C2nn/(n+1)C_{2n}^n/(n+1)C2nn​/(n+1) 6.h=...
看数据结构写代码（66） 败者树
fuming0210sc的专栏
05-05 1491
计算机的 内存 是 有限的，无法 存入 庞大的数据。当 遇到 大数据需要排序时，我们 需要 将 这些 数据 分段 从 硬盘里 读到 内存中，排好序，再 写入到 硬盘中，这些段 叫做 归并段。最后将 这些 分段 合并 成 一个 最终  完整 有序的 数据。  这里 操作的 时间 =  内部 排序 时间 +  外存读写时间 + 内部归并所需时间。 其中 外存 读写时间 最耗时，外存读写时间 =
败者树的建立图解_第六章-外排序算法(2012).ppt
weixin_39708854的博客
12-19 510
示例 如果做5路归并，让 k = 5，则有 (11-1)／(5-1) = 2,表示有2个度为5的内结点； 但是， u = (11-1) mod (5-1) =2 ≠0,表示有度小于5的结点； 这样就需要加一些空叶结点及一个内结点，内结点在归并树中代替了一个叶结点的位置，故一个叶结点参加这个内结点下的归并，需要增加的空初始归并段数为 k-u-1＝5-2-1 = 2 应当补充2个空归并段。则归并树如图...
胜者树和败者树
weixin_30897079的博客
11-25 362
胜者树和败者树都是完全二叉树，是树形选择排序的一种变型。每个叶子结点相当于一个选手，每个中间结点相当于一场比赛，每一层相当于一轮比赛。 不同的是，胜者树的中间结点记录的是胜者的标号；而败者树的中间结点记录的败者的标号。 胜者树与败者树可以在log(n)的时间内找到最值。任何一个叶子结点的值改变后，利用中间结点的信息，还是能够快速地找到最值。在k路归并排序中...
如何理解败者树
最新发布
04-09
<think>好的，我现在需要帮助用户理解败者树的概念、原理以及它在数据结构和算法中的工作原理。首先，我需要回忆自己关于败者树的知识，并确保这些信息的准确性。败者树通常用于外部排序中的多路归并，比如在归并排序中处理大量数据时优化比较次数。 用户的问题提到了数据结构、算法和工作原理，所以我应该从这几个方面展开。首先，败者树的定义，然后是其结构，接着是工作原理，最后是应用场景和优势。需要确保每个部分都清晰，并且使用中文表达，同时注意LaTeX格式的正确使用，比如行内公式用$...$，独立公式用$$...$$。 首先，败者树的定义。败者树是胜者树的一种变体，用于在多路归并中选择最小（或最大）元素。胜者树每次比较需要从子节点到根节点更新胜者，而败者树则记录败者，减少比较次数。这点需要明确说明，可能引用相关的数据结构概念，如逻辑结构和运算，如引用中的存储结构和运算实现[^1]。 接下来是结构部分。败者树通常用完全二叉树来实现，每个叶子节点对应一个归并段中的当前元素，内部节点记录败者索引。这里需要画一个结构示意图，但文字描述时可以用例子说明，比如k路归并时的败者树结构。例如，当k=8时，树的高度为log2(8)=3层，内部节点保存败者的信息，而胜者向上传递。 然后是工作原理，这部分需要详细步骤。初始化时，需要将各个归并段的第一个元素加载到叶子节点，然后自底向上比较，父节点记录败者，胜者继续向上比较。例如，假设每个叶子节点是不同归并段的元素，比较后败者留在父节点，胜者继续与同级节点比较，直到根节点。根节点记录的是最终的败者，而胜者则是当前最小的元素，被输出。之后，需要从被输出的元素所在的归并段中取出下一个元素，更新叶子节点，并重新进行比较。这个过程需要重复直到所有归并段处理完毕。 在比较次数方面，败者树相对于胜者树的优势在于，每次调整只需比较从叶子到根的路径上的节点，而胜者树可能需要更多的比较。例如，胜者树在更新时需要重新比较兄弟节点，而败者树利用之前的败者信息，减少比较次数。这里可能需要数学公式来说明时间复杂度，比如调整的时间复杂度是O(log k)，其中k是归并的路数。 应用场景部分，败者树主要用于外部排序中的多路归并，特别是当内存有限时处理大数据集。例如，引用中提到归并排序按段合并时使用K路合并[^3]，而败者树优化了比较过程。此外，可以提到其他使用场景，比如优先队列的实现，但主要应用还是外部排序。 最后，总结败者树的优点，比如减少比较次数，提高归并效率，适合处理大数据。同时，对比胜者树，说明败者树的改进之处。 在回答过程中，需要确保所有数学表达式正确使用LaTeX格式，例如树的高度是$\log_2 k$，时间复杂度是$O(\log k)$等。同时，生成的相关问题要围绕败者树的应用、对比、实现细节等方面展开，帮助用户进一步学习。 现在检查是否有遗漏的部分，比如败者树的节点结构、具体例子说明工作原理，或者与其他数据结构（如堆）的对比。例如，堆也可以用于选择最小元素，但败者树在多路归并时更高效，因为每次调整的路径更短。此外，需要确保引用正确，比如引用[3]提到K路合并，这与败者树的应用场景相关，可以正确标注。 最后，生成的问题需要相关且有深度，例如询问败者树与堆的比较，或者如何在实际中实现败者树，以及优化策略等。</think>### 败者树详解 #### 1. 基本概念 **败者树**（Loser Tree）是一种基于完全二叉树的数据结构，主要用于优化多路归并排序中的比较次数。它通过记录“败者”（即比较中失败的元素索引），减少每次选择最小（或最大）元素时所需的比较次数。其核心思想是：**父节点保存败者，胜者向上传递**，最终根节点保存全局最小值的索引[^3]。 #### 2. 结构特点 - **叶子节点**：存储参与归并的$k$个有序序列的当前元素。 - **内部节点**：记录比较过程中的败者索引。 - **完全二叉树**：若$k$路归并，树的高度为$\log_2 k$。例如，8路归并的败者树结构如下： $$ \text{根节点} \rightarrow \text{内部节点（记录败者）} \rightarrow \text{叶子节点（存储元素）} $$ #### 3. 工作原理 **步骤1：初始化** 1. 将$k$个有序序列的第一个元素加载到叶子节点。 2. 自底向上两两比较，父节点记录败者索引，胜者继续向上比较。 3. 根节点最终记录的是全局最小值的索引。 **步骤2：调整过程** 1. 取出根节点对应的最小值，输出到结果序列。 2. 从该最小值所属的序列中取下一个元素，替换对应的叶子节点。 3. 自底向上重新比较： - 比较新元素与原败者，更新父节点为新的败者，胜者继续向上传递。 - 重复此过程直到根节点更新。 **示例**：假设4路归并，初始化后各叶子节点值为$[3, 1, 4, 2]$。第一次比较后，根节点记录最小值1的索引。取出1后，替换其所在序列的下一个元素（例如5），重新调整树结构。 #### 4. 时间复杂度分析 - **初始化**：$O(k)$，需要构建初始树结构。 - **每次调整**：$O(\log k)$，仅需从叶子到根更新路径上的节点。 - **总时间**：$O(n \log k)$，其中$n$为总元素数，优于直接比较的$O(nk)$。 #### 5. 对比与优势 - **与胜者树的区别**：胜者树的父节点记录胜者，而败者树记录败者。败者树减少了对兄弟节点的重复比较，调整效率更高。 - **与堆的对比**：堆的每次调整需要$O(\log k)$，但败者树在归并场景中常数因子更小，更适合多路归并[^3]。 #### 6. 应用场景 - **外部排序**：处理超出内存容量的大数据时，通过多路归并减少磁盘I/O次数[^3]。 - **优先队列**：高效获取当前最小/最大值，例如实时数据流处理。 ```python # 败者树简化实现示例（以4路归并为例） class LoserTree: def __init__(self, k=4): self.k = k self.tree = [ -1 ] * (k) # 内部节点存储败者索引 self.leaves = [ None ] * k # 叶子节点存储当前元素 def adjust(self, idx): parent = (idx + self.k) // 2 while parent > 0: if self.leaves[idx] < self.leaves[self.tree[parent]]: self.tree[parent], idx = idx, self.tree[parent] parent = parent // 2 self.tree[0] = idx # 根节点保存当前胜者索引 ```
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