斯黄人民的博客

遗传算法（Genetic Algorithm, GA）是一种基于自然选择和遗传机制的优化算法，最早由美国计算机科学家 John Holland 在 1960 年代提出，并在他的 1975 年著作 Adaptation in Natural and Artificial Systems 中系统化。这一算法的灵感来源于 达尔文的进化论，即在自然界中，个体通过遗传、变异和适者生存的方式不断进化，以适应环境。Holland 及其学生（如 David E. Goldberg）在 1980 年代进一步发展了该算法，使其

凸优化是数学优化领域的重要分支，广泛应用于机器学习、信号处理、金融工程和控制系统等领域。其核心特性在于：若目标函数和约束均为凸的，则局部最优即全局最优，使得问题易于求解。凸优化问题通常采用梯度下降法、牛顿法、内点法或拉格朗日对偶法求解，其中内点法在约束优化中尤为高效。典型应用包括支持向量机、投资组合优化、最优控制和稀疏信号恢复。由于其稳定性和高效性，凸优化在数据科学和人工智能等领域发挥着关键作用，并推动复杂系统的优化发展。

分数规划（Fractional Programming, FP）是一类优化问题，目标是最大化或最小化分式目标函数，广泛应用于经济、工程和运筹学等领域。该问题最早由 Charnes 和 Cooper 于 1962 年提出，并通过 Charnes-Cooper 变换将线性分数规划（LFP）转换为线性规划求解。对于非线性情况，Dinkelbach 方法迭代优化参数化问题，提高求解效率。此外，还可采用梯度法、元启发式算法等方法处理更复杂的非凸分数规划。FP在投资回报率优化、功率控制、数据包络分析等领域具有重要价值。

拉格朗日对偶性是最优化理论中的重要概念，广泛应用于数学优化、经济学、机器学习等领域。通过引入拉格朗日乘子，我们可以将原始约束优化问题转化为对偶问题，从而获得更多的优化信息。在弱对偶性下，对偶问题的最优解总是小于等于原始问题的最优解。强对偶性则确保在满足一定条件（如Slater条件）的情况下，对偶问题的最优解等于原始问题的最优解。KKT条件为解决具有强对偶性的优化问题提供了必要的最优性准则。拉格朗日对偶性广泛应用于线性规划、支持向量机、博弈论等领域，是优化理论中的核心工具，帮助简化复杂问题。

KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker条件）是处理带约束优化问题的关键工具，广泛应用于机器学习、经济学等领域。它扩展了拉格朗日乘数法，能同时处理等式和不等式约束。KKT条件包括四部分：平稳性（目标函数梯度与约束梯度加权和为零）、主问题可行性（满足所有约束）、双问题可行性（不等式乘数非负）和互补松弛性（约束松弛时乘数为零）。

本文系统介绍了最优化问题中依赖松弛变量的经典算法及其应用。松弛变量通过将不等式约束转化为等式、保障可行性及支持理论分析，简化了问题求解。文章详细讲解了单纯形法、内点法、拉格朗日乘子法、ADMM、分支定界法、有效集法和次梯度法的核心思想、数学原理及实际应用场景。每种算法通过松弛变量或类似机制，解决了从线性规划到分布式优化、整数规划及非光滑问题的各类挑战。最后，文章总结了各算法的优缺点，并提供了选择建议，帮助读者根据问题类型选择最佳优化工具。