斯黄人民的博客

谱分解是线性代数中一项强大的工具，能够将复杂的矩阵运算通过特征值和特征向量的组合进行简化。它广泛应用于数据科学、物理学、控制理论、机器学习等多个领域，特别是在矩阵对角化、数据降维和系统分析中具有重要作用。通过熟练掌握谱分解的原理和操作步骤，可以在处理各种线性代数问题时更加高效。

行列式提供了判断线性方程组解的存在性和唯一性的一个有效工具。对于齐次方程组，如果系数矩阵的行列式非零，则方程组只有零解；如果行列式为零，则方程组有无穷多解。对于非齐次方程组，如果系数矩阵的行列式非零，则方程组有唯一解；如果行列式为零，则方程组可能没有解，也可能有无穷多解，需要进一步分析方程组来确定解的存在性和个数。通过理解行列式与线性方程组解的关系，我们可以更好地解决实际问题中的线性方程组求解问题。

施密特正交化：当你需要从一组线性无关的向量构造出一个正交向量组，或者处理实对称矩阵中重复特征值对应的特征向量时，需要使用施密特正交化。单位化：当实对称矩阵的特征向量已经自然正交，或者当矩阵的特征值不重复时，我们可以直接对特征向量进行单位化，而无需进行施密特正交化。在考研数学中，理解施密特正交化和单位化的区别和联系，以及它们在不同情况下的应用，对于解决线性代数问题至关重要。

等价矩阵是指两个矩阵之间存在某种关系，使得它们可以通过一系列初等变换相互转换。具体来说，如果存在可逆矩阵P和Q，使得BPAQB=PAQBPAQ，那么我们就说矩阵A和B是等价的。这里的P和Q是可逆矩阵，意味着它们具有逆矩阵，并且可以通过乘法操作来改变矩阵A的形状，从而得到矩阵B。

只含有变量的平方项，所有混合项系数全是零，称为标准形；平方项的系数为1、-1或0，称为规范形。化为标准形：配方法、正交变换法。2.1 惯性定理：正负惯性指数。

定义法；；相似。若，则A和B相似。

如果没有方程组就大概需求秩，用解的结构来分析推理来求解。个线性无关解向量组成。也就是说，基础解系向量个数+克拉默法则：非齐次线性方程组中，系数行列式。如果有方程组就加减消元、讨论参数，求解；经过初等行变换化为阶梯形矩阵。的系数）替换成方程组右端的常数项。，则方程组有唯一解，且唯一解为。存在基础解系，且基础解系有。线性表出，且表出法不唯一。线性表出，且表出法唯一。特解，通解，自由变量。方程组有非零解等价于。=n（未知量个数）。

向量组等价，向量组的秩相等（反过来不成立，秩相等向量组未必等价）。经过初等变换向量组的秩不变。多数向量能用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关。的极大线性无关组中所含向量的个数r，称为这个向量组的。是正交规范向量组（即两两正交且均是单位向量）。如果两个向量组可以互相线性表出，则称这两个。（小向量组是大向量组的极大线性无关组）线性相关的充分必要条件是行列式。线性表出（k不要求不全为0）线性相关，再加进任何一个向量。概念：若存在不全为0的。线性相关，则称向量组。

用初等矩阵P左（右）乘矩阵A，其结果PA（AP）就是对矩阵A作一次相应的初等行（列）变换。：矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记作。对于二阶矩阵，主对角线元素互换，副对角线元素变号即可求出伴随矩阵。（单位矩阵），则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵。：矩阵A的每个元素被其代数余子式所取代而构成的矩阵，记作。矩阵等价的充分必要条件是，存在可逆矩阵P与Q，使。：矩阵A的行换成同序数的列得到的一个新矩阵，记作。（3）把某行（列）的k倍加至另一行（列）。若n阶矩阵A可逆，则。

一、概念不同行不同列元素乘积的代数和（共n!项）二、性质经转置行列式的值不变，即|AT|=|A|；某行有公因数k，可把k提到行列式外。特别地，某行元素全为0，则行列式的值为0；两行互换行列式变号，特别地，两行相等行列式值为0，两行成比例行列式值为0；某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和；某行的k倍加至另一行，行列式的值不变。三、展开式|A|=ai1Ai1+ai2Ai2＋…+ainAin（按i行展开）|A|=a1jA1j+a2A2j+…＋anjAnj（按j列展开）四、计算。