【蓝桥杯】绳圈

绳圈

今有$100$ 根绳子，当然会有 $200$ 个绳头。

如果任意取绳头两两配对，把所有绳头都打结连接起来。最后会形成若干个绳圈（不考虑是否套在一起）。

我们的问题是：请计算最后将形成多少个绳圈的概率最大？

思路

• 动态规划
• 100根绳子，最多能形成100个绳圈，最少形成1个绳圈
• 建立一个DP数组$dp$，$dp[i][j]$表示 $i$ 条绳子形成 $j$ 个绳圈的概率
• 由于所有的绳头都是要连起来的，所以一条绳子的时候只能且必须形成1个绳圈，则$dp[1][1]=1$
• 分析递推关系：
• 有1条绳子时：只能形成1个绳圈，而不能形成大于1个绳圈
• 有2条绳子时：能形成1个绳圈或者2个绳圈，但不能形成大于2个绳圈
• 有3条绳子时：能形成1个绳圈或者2个绳圈或者3个绳圈，但不能形成大于3个绳圈$\dots \dots$
• 可以得到一个简单的规律：有 $i$ 条绳子时可以形成$k\in [1,i]$个绳圈，而不可能形成大于 $i$ 个绳圈

再来分析一下绳头的连接情况：

• 选择一条绳子的一个绳头作为参考点，与参考点相连的绳头有两种：一种是参考点本身所在绳子的另一个绳头a，另一种是除去这个与参考点在一条绳子上的绳头之外的绳头b
  

• 如果参考点与 $a$ 相连，那么就会形成1个绳圈和 $i-1$ 条绳子；如果与$b$ 相连，则会形成0个绳圈和 $i-1$ 条绳子(连起来的两条绳子看成一条绳子)

• 除去参考点以外的$2\ast i-1$个绳头中，与a相连的概率为$\frac{1}{2\ast i-1}$，与b相连的概率为$\frac{2\ast i-2}{2\ast i-1}$

那么现在有 $i$ 条绳子，怎么凑够 $j$ 个绳圈呢？

• 与a相连，则相当于$i-1$条绳子凑$j-1$个圈(因为已经形成了1个圈了)，则$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]\ast \frac{1}{2\ast i-1}$
• 与b相连，则相当于$i-1$条绳子凑$j$个圈(因为没有形成圈，但是绳子少了一条)，则$dp[i][j]=dp[i-1][j]\ast \frac{2\ast i-2}{2\ast i-1}$

则递推关系已经建立起来了：
$$dp[i][j]=dp[i-1][j-1]\ast \frac{1}{2\ast i-1}+dp[i-1][j]\ast \frac{2\ast i-2}{2\ast i-1}$$

• 接下来就是代码的事了

代码如下

#include <iostream>
#include <vector>
#define db double
using namespace std;

const int NUM = 100;
vector<vector<db>> dp;//因为数组里面存的是概率，所以用double类型

void init() {
    dp.resize(NUM + 1);
    for (int i = 0; i <= NUM; i++) {
        dp[i].resize(NUM + 1, 0.0);
    }
    dp[1][1] = 1.0;
}

void solve() {
    int i = 0, j = 0;
    for (i = 2; i <= NUM; i++) {
        for (j = 1; j <= i; j++) {
        //当j>i的时候是不可能的，默认是0，所以不用管
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] * (2 * i - 2) / (2 * i - 1) * 1.0 +
                       dp[i - 1][j - 1] / (2 * i - 1) * 1.0;
        }
    }

    int max_pos = 0;
    db max_val = 0.0;
    for (i = 1; i <= NUM; i++) {
        if (max_val < dp[NUM][i]) {
            max_pos = i;
            max_val = dp[NUM][i];
        }
    }

    printf("%d\n", max_pos);
}

int main(void) {
    init();
    solve();
    return 0;
}