【无标题】

动态规划

动态规划算法的实质是分治思想和解决冗杂,将待求解问题分解为更小的、相同的子问题，然后对问题进行求解，最终产生一个整体最优解。

• 0-1背包问题

  目标函数: Max(Sum(xi*vi)),i=0...n,xi=0或1
  约束条件: Sum(xi*wi)<=W xi=0或1
  递归方程: 
  		c[0][j] = c[i][0] = 0
  					c[i-1][j]	j<wi
  		c[i][j] = {
  					Max(c[i-1][j],c[i-1][j-wi]+vi)	j>=wi
  时间复杂度: O(n*W)
  空间复杂度: O(n*W)
  

• 斐波那契数列

• 矩阵连乘问题 时:O(n) 空:O(n^2)

  定义一个二维数组m存储最少乘法次数，二维数组s存储最优决策并分别初始化为0;
  按照区间长度(即j-i)升序的原则，依次采用下式计算所有的m[i][j]和s[i][j]：
  m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+P[i-1]P[k]P[j]},i<=k<j   
  而s[i][j]设置为达到最小值的k值；根据从s[1][n]开始,从s的值依次构造最优解
  

• 游艇出租站

  算法策略: 动态规划
  思想:动态规划算法的实质是分治思想和解决冗杂,将待求解问题分解为更小的、相同的子问题，然后对问题进行求解，最终产生一个整体最优解。
  数据结构: 二维数组dp[][]和r[][]
  算法步骤：
  void rent(){
          for(int d=3;d<=n;d++){//区间长度d
            for(int i=1;i<=n-d+1;i++){//状态起点i，终点j
              int j=i+d-1;
              for(int k=i+1;k<j;k++){//枚举决策点k 
                  if(dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k][j])
                      dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k][j];
              }
      	  }
  	  }
  }
  时间复杂度为O(n^3)
  空间复杂度平均为O(logn),最坏为O(n)
  

贪心法

贪心法是指在求最优解问题的过程中,依据某种贪心标准,从问题的初始状态出发,通过若干次的贪心选择而得出最优解或较优解的一种方法

• 部分背包问题(阿里巴巴藏宝库)

  存储数据结构: 一维数组m 一维数组v
  贪心策略: 性价比(价值除以重量)最高的金币优先装入
  算法步骤: 把这n堆金币按照性价比排序，然后遍历，如果背包中剩余可以拿的重量>=这堆金币重量，就全拿，否则装满为止。
  

• 加油站加油

  输入: 加满油可行驶的公里数
  输出: 加油站加油的次数
  数据结构: 数组
  算法设计策略: 贪心法--选择距自己最远的且能到达的加油站
  自然语言:到站后的剩余油量能到下一站，不加油;到站后的剩余油量到不了下一站，若加了油后到得了，则加油，若加了油后还是到不了，则退出
  

分治算法

把一个复杂的大问题分成多个规模较小的相同子问题,子问题相互独立,递归求解各子问题,直到最后各子问题可以简单地直接求解为止,然后归并各子问题的解得原问题的解

• 快速排序

  最坏的情况下，基准元素选取均为极端值，而每找一个基准元素，都需要O(子序列长度)的时间，故最坏
    Tn = O(1),n=1   
  {
    T(n-1)+ O(n),n>1 
  Tn=O(n^2)
  同理最好情况为中值
    Tn = O(1),n=1
  {
    2T(n/2)+O(n),n>1 
   Tn=O(nlogn)
  平均情况为  Tn=O(nlogn)
  对于空间复杂度，与其递归深度相关，最好情况是中值
  此时S(n)=O(logn),最坏为极值，此时S(n)=O(n),均值为O(logn)
  

• 二分查找

  自然语言描述:在一串有序排列好的数据中取出中间值x[mid]与待查找值z进行比较，如果z小于中间值，则在0~x[mid]中再取中间值进行比较，如果小于中间值，则在x[mid]和最大值中再取中间值进行比较。重复该过程直至完成查找。
  时间复杂度: O(logn)
  空间复杂度: 最好为O(1),最差为O(logn)
  

回溯法

回溯法从初始状态触发,在隐式图中以深度优先的方式搜索问题的解,当发现不满足求解条件时,就回溯,并尝试其他路径

• n皇后问题

  时间复杂度:O(n^2)
  空间复杂度:O(n!)
  算法改进:利用约束条件和限界条件判断是否为可行解,从而避免了无效搜索,使时间复杂度变为O(n!)
  

• 地图着色问题

  由于需要每点的每个邻接进行判断，以及给没上色的点上色,所以:
  时间复杂度: O(n)
  空间复杂度: O(n)