java实现prim算法求得带权最小生成树

一、什么是最小生成树

最小生成树是具有如下特征的联通图

1）包含图中的所有顶点

2）任意顶点之间有且仅有一条通路

3）边的权值总合最小

示例：

 上图中最小生成树为 a->b->c->e->d

二、最小生成树的应用

1）使所有道路联通，怎样花费最小

2）铺设光缆，怎样花费最小

3）多国旅游，怎样花费最小

........

总结：适用于解决减少成本花费的问题

三、prim(普里姆算法）

基本思想：

1）将所有顶点分为两类，A(选中状态)类和B(未被选中状态)类，初始时所有顶点位于B类

2）选择任意一个B类中的顶点将其移动到A类

3）从B类中的所有顶点中找出一条权值最小的连接A类顶点的边，将该B类的顶点移动到A类

4）重复3）过程，直至找到 顶点数-1 条边

四、实现的思路与方法

prim算法是一种思想，实现的具体方法有很多种，我的实现方法如下。

1）图的存储结构有好几种，这里我采用的是邻接矩阵存储方法

注意：在带权的联通图中正无穷需要我们自已定义一个数来表示，或采用该数据类型的最大值。

2）如何记录最小生成树的路径

这里采用数组（parent[]）记录最小生成树的路径，数组下标表示顶点，数组的值表示该顶点的父结点，第一个结点的父结点置为-1。

3）如何区分A类与B类

这里我采用一个布尔数组(visited[])表示，true代表被选中为A类，false代表未被选中为B类。

4）将B类移动A类的具体过程

//将第一个顶点加入A类

parent[0] = -1

visited[0] = true

//将剩余n-1个顶点加入到A类

for(i<n-1){

        //遍历邻接矩阵找B类到A类中权值最小的点

        for(i<n){

                if（）{//如果是A类顶点

                        for(){//找出当前B类到A类权值最小的点

                        }

                }

        }

}

五、具体的实现代码和注释解析

public class MiniSpanTree_Prim {

    /*
        int[][] g:其中i为图的顶点，j为与该顶点相邻的顶点，相邻则tree[i][j] = 权值
        规定权值最大为100，其中101视为无穷大
     */
    public  MiniSpanTree_Prim(int[][] graphics){

        int[][] g = graphics;
        //用于记录父节点的位置
        int[] parent = new int[g.length];
        //用于记录其到父节点的权值
        int[] weight = new int[g.length];
        //用于记录该顶点是否被选择
        boolean[] visited = new boolean[g.length];

        //初始化数组
        for(int i = 0;i < g.length;i ++){
            parent[i] = -1;
            weight[i] = 101;
            visited[i] = false;
        }

        //从第一个结点开始寻找最小生成树
        weight[0] = 0;//没有父节点权值为0
        visited[0] = true;//标记为已选

        //只需要找到 顶点数-1 条边
        for(int x = 0;x < g.length-1;x ++){

            int i = -1;
            int j = -1;
            int w = 101;
            //从已选中的结点中选出到下个结点权值最小的结点
            for(int y = 0;y < g.length;y ++){
                if(visited[y] == true){//若果是已选结点
                    for(int z = 0;z < g.length;z ++){
                        //如果当前权重小于最小权重且该结点未被选中，则更新最小权重
                        if(g[y][z] < w && visited[z] != true){
                            w = g[y][z];
                            i = y;
                            j = z;
                        }
                    }
                }
            }

            //记录父结点
            parent[j] = i;
            //记录到父结点的权重
            weight[j] = w;
            //该点标记为已选
            visited[j] = true;

        }

        //打印输出各结点的父结点
        for(int tmp:parent){
            System.out.println(tmp);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[][] g = {
            {0,1,2,4},
            {1,0,3,101},
            {2,3,0,1},
            {4,101,1,0}
        };

        new MiniSpanTree_Prim(g);
    }
}

6、测试结果