The S4 Parameterization: Normal Plus Low-Rank——HiPPO 矩阵的分解及其计算效率问题

这段话讨论了 HiPPO 矩阵的分解及其计算效率问题，并提出了解决方案。让我们逐句解释并举例说明。

详细解释

1. HiPPO 矩阵分解

   • 虽然 HiPPO 矩阵不是正规矩阵，但它可以分解为一个正规矩阵和一个低秩矩阵的和。
   • 正规矩阵满足$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A$，可以被酉矩阵对角化。而低秩矩阵通常有较少的非零特征值，使其计算相对简单。

2. 分解的局限性

   • 虽然将 HiPPO 矩阵分解为正规矩阵和低秩矩阵的和是一种方法，但这种分解本身并没有解决计算效率问题。与对角矩阵不同，这种和的幂次计算依然较慢，难以优化。

3. 新的技术

   • 为了解决这个瓶颈，提出了三种新技术，具体细节可能包括改进的算法、优化策略或新型的数学工具。

具体举例

HiPPO 矩阵的分解

假设 HiPPO 矩阵$H$可以分解为一个正规矩阵$N$和一个低秩矩阵 L L