SSM核心公式解释（离散化过程）

连续函数离散化——零阶保持

公式：

1.$h_t=\overline{A}{h}_{t-1}+\overline{B}{x}_t$
2.$h_0=\overline{B}{x}_0$
3.$y_t=\overline{C}{h}_t$

详细解释：

这些公式描述了状态空间模型（SSM）中的离散化过程，特别是使用零阶保持方法对连续时间系统进行离散化。以下是对每个公式的详细解释：

1. 离散化的状态更新方程

$h_t=\overline{A}{h}_{t-1}+\overline{B}{x}_t$

解释：

-$h_t$：表示在离散时间$t$时刻的隐状态向量。
-$h_{t-1}$：表示在上一离散时间$t-1$时刻的隐状态向量。
-$\overline{A}$：离散化后的状态转移矩阵。
-$x_t$：表示在离散时间$t$时刻的输入向量。
-$\overline{B}$：离散化后的输入矩阵。

零阶保持：

• 零阶保持假设在每个离散时间间隔内输入保持不变。通过这种方法，连续时间的状态空间方程可以被离散化，以便应用在数字计算和离散时间系统中。

这个公式表示当前时刻的状态$h_t$是由上一时刻的状态$h_{t-1}$和当前输入$x_t$通过各自的离散化矩阵$\overline{A}$和$\overline{B}$共同作用得到的。

2. 初始条件

$h_0=\overline{B}{x}_0$

解释：

-$h_0$：初始状态。
-$x_0$：初始输入。
-$\overline{B}$：离散化后的输入矩阵。

这个公式表示初始状态$h_0$是由初始输入$x_0$通过离散化后的输入矩阵$\overline{B}$直接得到的。这提供了系统在开始时的状态条件。

3. 离散化的输出方程

$y_t=\overline{C}{h}_t$

解释：

-$y_t$：表示在离散时间$t$时刻的输出向量。
-$\overline{C}$：离散化后的输出矩阵。
-$h_t$：当前时刻的隐状态向量。

这个公式表示当前时刻的输出$y_t$是由当前时刻的状态$h_t$通过离散化后的输出矩阵$\overline{C}$得到的。即，输出是状态的线性变换。

离散化过程中的注意事项：

1. 状态转移矩阵的离散化：$\overline{A}$通常是通过连续时间状态转移矩阵$A$的指数矩阵计算得到：
   $\overline{A}=e^{A\Delta t}$
   其中，$\Delta t$是离散化的时间步长。

2. 输入矩阵的离散化：$\overline{B}$可以通过如下公式得到：
   $\overline{B}=\left({\int }_0^{\Delta t}{e}^{A\tau }d\tau \right)B$
   这里使用了连续时间输入矩阵$B$和时间步长$\Delta t$。

3. 输出矩阵：$\overline{C}$通常与连续时间系统的输出矩阵$C$相同，因为输出是状态的直接观测，离散化不改变这个关系。

通过这些离散化方法，可以将连续时间的状态空间模型转化为离散时间模型，使其适用于数字控制和离散时间信号处理。这种转换允许我们在计算机上模拟和控制连续时间系统。