KMP字符串匹配算法笔记

前言：需要阅读《算法导论》关于字符串的章节才能知道下面符号的含义

定义偏移（shift）为：成功匹配的的字符串位置前所包含的字符数，比如字符串abcdef, 匹配串为cd, 则偏移量为2，因为字符串abcdef中，cd前面还有a,b两个字符

给定一个模式$P$,定义：
σ ( x ) = a r g max ⁡ k { k ∣ P k ⊐ x } \sigma(x)=arg\max_{k} \{k \mid P_k \sqsupset x \} σ(x)=argkmax​{k∣Pk​⊐x}

π [ q ] = a r g max ⁡ k { k ∣ k < q , P k ⊐ P q } \pi[q]=arg\max_{k} \{k \mid k<q, P_k \sqsupset P_{q}\} π[q]=argkmax​{k∣k<q,Pk​⊐Pq​}

注意$\pi [q]不包含自身长度q$

重要定理：
定理1： { k ∣ k < q , P k ⊐ P q } = π ∗ [ q ] \{k \mid k<q,P_k \sqsupset P_q\} = \pi^{*}[q] {k∣k<q,Pk​⊐Pq​}=π∗[q]
定理2：若$\sigma (X)=q$，则有$\sigma (Xa)=\sigma (P_{q}a)$
定理3：若$q=m$ 或 $q\ne m$ 但$P[q+1]\ne a$ ，则$\sigma (P_{q}a)=\sigma (P_{\pi [q]}a)$

重要思想：
去尾部化为子问题，然后再比较末尾值