递推和递归（C语言）

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前言

主要探究递推和递归之间的关系

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提示：以下是本篇文章正文内容，本人可能有理解不到位的地方，请批评指正。

一、递推原理

1.递推概念

指从已知条件出发，依据某种递推关系，逐次推出所要求的各中间结果及最后结果。其中初始条件或是问题本身已经给定，或是通过对问题的分析与化简后确定。

2.递推关系

指一个问题的结果与其子问题的结果之间的关系。

3.递推特点

可用递推算法求解的题目一般有以下两个特点：
1)问题可以划分成多个状态；
2)除初始状态外，其它各个状态都可以用固定的递推关系式表示。

4.递推详例

帕斯卡三角形是排列成三角形的一系列数字。在帕斯卡三角形中，每一行的最左边和最右边的数字总是1。对于其余的每个数字都是前一行中直接位于它上面的两个数字之和。

首先，我们定义一个函数 f(i,j)，它将会返回帕斯卡三角形第i行、第j列的数字。然后，我们可以用下面的公式来表示这一递推关系：f(i,j)=f(i−1,j−1)+f(i−1,j)。

5.解决递推问题的步骤

1)建立递推关系式；(问题可以划分成多个状态；除初始状态外，其它各个状态都可以用固定的递推关系式来表示。实际解题中，题目不会直接给出递推关系式，而是需要通过分析各种状态，找出递推关系式。)
2)确定边界条件；
3)递推求解。

二、递归原理

1.递归的概念

递归指的是在函数的定义中使用函数自身的方法。但在使用递归时，程序员需要注意定义一个从函数退出的条件，否则会进入死循环。递归函数在解决许多数学问题上起了至关重要的作用，比如计算一个数的阶乘、生成斐波那契数列等。

2.构成递归的条件

1)子问题须与原始问题为同样的事，且更为简单；
2)具有终止条件，也就是递归不能无限制地调用本身，须有个出口，化简为非递归状况处理。并且终止条件必须是在递归最开始的地方。

3.递归的模板

1.void recursion()  
2.{
     
3.   statements;  
4.   ... ... ...  
5.   recursion(); /* 函数调用自身 */  
6.   ... ... ...  
7.}  
8.   
9.int main()  
10.{
     
11.   recursion();  
12.}  

4.递归详例

(1)问题描述
斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21…，即第一项 f(1) = 1,第二项 f(2) = 1…,第 n 项目为 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。求第 n 项的值是多少。

(2)问题分析
1)先确定f(n)的功能是求第n项的值；
2)当 n = 1或者 n = 2 ,我们可以轻易地知道结果f(1)=f(2)=1。所以递归结束条件可以为n<= 2 时&