时间复杂度和空间复杂度（简单)

时间复杂度和空间复杂度

分析算法时，存在几种可能的考虑：

• 算法完成工作最少需要多少基本操作，即最优时间复杂度
• 算法完成工作最多需要多少基本操作，即最坏时间复杂度
• 算法完成工作平均需要多少基本操作，即平均时间复杂度

大O表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

算法效率

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。

时间复杂度

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。

算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

1. 基本操作，即只有常数项，认为其时间复杂度为O(1)
2. 顺序结构，时间复杂度按加法进行计算
3. 循环结构，时间复杂度按乘法进行计算
4. 分支结构，时间复杂度取最大值
5. 判断一个算法的效率时，往往只需要关注操作数量的最高次项，其它次要项和常数项可以忽略
6. 在没有特殊说明时，我们所分析的算法的时间复杂度都是指最坏时间复杂度

比较难一点的推导举例：

// 计算binarySearch的时间复杂度？
int binarySearch(int[] array, int value) {
int begin = 0;
int end = array.length - 1;
while (begin <= end) {
	int mid = begin + ((end-begin) / 2);
	if (array[mid] < value)
    	begin = mid + 1;
    else if (array[mid] > value)
    	end = mid - 1;
    else
    	return mid;
    }
    return -1;
}

//时间复杂度：基本操作执行最好1次，最坏O(logN)次，时间复杂度为 O(logN)

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}
//时间复杂度：基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)。

// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？
int fibonacci(int N) {
return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}
//时间复杂度： 基本操作递归了2^N次，时间复杂度为O(2^N)。（画图递归栈帧的二叉树）

空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes
的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度
类似，也使用大O渐进表示法。

举例：

// 计算bubbleSort的空间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
    for (int end = array.length; end > 0; end--) {
        boolean sorted = true;
        for (int i = 1; i < end; i++) {
            if (array[i - 1] > array[i]) {
                Swap(array, i - 1, i);
                sorted = false;
   		 	}
		}
        if (sorted == true) {
            break;
        }
    }
}

//空间复杂度：使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

// 计算fibonacci的空间复杂度？
int[] fibonacci(int n) {
    long[] fibArray = new long[n + 1];
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n ; i++) {
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
	}
	return fibArray;
}

//空间复杂度：开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}
//空间复杂度：递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

时间复杂度和空间复杂度相对比较简单，细心一点就行。