动态规划：最长公共子序列（文末附有例题）

一、公共子序列

子序列

给定一个序列X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，另一个序列Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>，若存在一个严格递增的X的下标序列<i1,i2,i3,...,ik>对所有的1,2,3,...,k，都满足x(ik)=zk，则称Z是X的子序列
比如Z=<B,C,D,B>是X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列

公共子序列

如果Z既是X的子序列，又是Y的子序列，则称Z为X和Y的公共子序列

最长公共子序列（Longest Common Subsequence——LCS）

公共子序列中长度最长的序列

二、求解方法

我们可以用暴力法，遍历出所有可能，但时间复杂度为O（n^3），显然非常慢。

但我们或许可以分析一下这个是否满足动态规划的特性
设X=<x1,x2,x3,x4...,xm>，Y=<y1,y2,y3,y4...,yn>为两个序列，Z=<z1,z2,z3,z4...,zk>是他们的任意公共子序列

经过分析，我们可以知道：

1、如果xm = yn，则zk = xm = yn 且 Zk-1是Xm-1和Yn-1的一个LCS
2、如果xm != yn 且 zk != xm，则Z是Xm-1和Y的一个LCS
3、如果xm != yn 且 zk != yn，则Z是X和Yn-1的一个LCS

说白了，就是从两个序列最后一个元素看起，如果他们是相同的，这个元素肯定是公共子序列的一部分，如果不相同，我们要分别去除，跟另一个的最后一个元素比。
当我们去除这个元素的时候，我们看剩下的部分，发现这个子结构是独立的，可以看作一个新的问题求解，刚好符合动态规划的特性！

所以如果用一个二维数组c表示字符串X和Y中对应的前i，前j个字符的LCS的长度的话，可以得到以下公式：

我们不仅需要计算最长公共子序列的长度，还需要记录其求解次序。
用一个二维数组b来表示：
在相应字符相等的时候，用↖标记
在p1 >= p2的时候，用↑标记
在p1 < p2的时候，用←标记
（p1表示X的前 i-1 个字符和Y的前 j 个字符的LCS的长度）
（p2表示X的前 i 个字符和Y的前 j-1 个字符的LCS的长度）
这些箭头表达的是这一步是根据哪一步来的。

三、实现

若想得到LCS，就遍历b数组，从最后一个位置开始往前遍历：
如果箭头是↖，则代表这个字符是LCS的一员，存下来后 i-- , j--
如果箭头是←，则代表这个字符不是LCS的一员，j--
如果箭头是↑ ，也代表这个字符不是LCS的一员，i--
如此直到i = 0或者j = 0时停止，最后存下来的字符就是所有的LCS字符

四、例题

求<1,0,0,1,0,1,0,1>和<0,1,0,1,1,0,1,1,0>的一个LCS

#include <iostream>
#include <string>
#include <stack>
using namespace std;
void LCS(string s1,string s2)
{
    int m=s1.length()+1;
    int n=s2.length()+1;
    int **c;
    int **b;
    c=new int* [m];
    b=new int* [m];
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        c[i]=new int [n];
        b[i]=new int [n];
        for(int j=0;j<n;j++)
            b[i][j]=0;
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
        c[i][0]=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        c[0][i]=0;
    for(int i=0;i<m-1;i++)
    {
        for(int j=0;j<n-1;j++)
        {
            if(s1[i]==s2[j])
            {
                c[i+1][j+1]=c[i][j]+1;
                b[i+1][j+1]=1;          //1表示箭头为  左上
            }
            else if(c[i][j+1]>=c[i+1][j])
            {
                c[i+1][j+1]=c[i][j+1];
                b[i+1][j+1]=2;          //2表示箭头向  上
            }
            else
            {
                c[i+1][j+1]=c[i+1][j];
                b[i+1][j+1]=3;          //3表示箭头向  左
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<m;i++)                //输出c数组
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            cout<<c[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }
    stack<char> same;                   //存LCS字符
    stack<int> same1,same2;             //存LCS字符在字符串1和字符串2中对应的下标，方便显示出来
    for(int i = m-1,j = n-1;i >= 0 && j >= 0; )
    {
        if(b[i][j] == 1)
        {
            i--;
            j--;
            same.push(s1[i]);
            same1.push(i);
            same2.push(j);
        }
        else if(b[i][j] == 2)
                i--;
             else
                j--;
    }
    cout<<s1<<endl;                     //输出字符串1
    for(int i=0;i<m && !same1.empty();i++)      //输出字符串1的标记
    {
        if(i==same1.top())
        {
            cout<<1;
            same1.pop();
        }
        else
            cout<<' ';
    }
    cout<<endl<<s2<<endl;                //输出字符串2
    for(int i=0;i<n && !same2.empty();i++)      //输出字符串2的标记
    {
        if(i==same2.top())
        {
            cout<<1;
            same2.pop();
        }
        else
            cout<<' ';
    }
    cout<<endl<<"最长公共子序列为：";
    while(!same.empty())
    {
        cout<<same.top();
        same.pop();
    }
    cout<<endl<<"长度为："<<c[m-1][n-1]<<endl;
    for (int i = 0; i<m; i++)
    {
        delete [] c[i];
        delete [] b[i];
    }
    delete []c;
    delete []b;
}
int main()
{
    string s1="10010101";
    string s2="010110110";
    LCS(s1,s2);
    return 0;
}