高等数学（下）知识点总结（2）

高等数学（下）知识点总结

期末，总结一下高数下的知识点
第八章，第九章见上一篇博客

第八章_空间解析几何和向量代数

第九章_多元函数微分法及其应用

第十章_重积分

这一部分计算方法不细说，学过应该有影响，仅强调关键词（点）

10.1 重积分概念

1、引出：曲顶柱体的体积

1）分割：将曲顶柱体的底$D$划分为$n$小份$\Delta D_i$，然后以$n$个底将曲顶柱体划分为$n$个小曲顶柱体$\Delta V_i$
2）近似：$\forall ({\xi }_i,{\eta }_i)\in \Delta D_i$，以该点对应的高作为转化为平顶柱体的高（即此时的柱体体积近似表示为真实体积）
3）求和：$V={\sum }_{i=1}^n\Delta V_i\approx {\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$
4）取极限： λ = max ⁡ { d i } \lambda = \max \{d_i\} λ=max{ di​}（$d_i$表示分割后底的直径）
$V={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$

2、平面薄板的质量
1）分割
2）近似
3）求和
4）取极限

3、定义：设$f(x,y)$是有界闭区域$D$上的有界函数，将闭区域$D$任意分成$n$份小区域$\Delta D_1,\Delta D,\cdots \Delta D_n$设$\Delta {\sigma }_k$表示$k$个小区域$\Delta D_k$的面积，在每个$\Delta D_k$上任取一点$({\xi }_k,{\eta }_k)\in \Delta D_k$，做乘积$f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$，并作和${\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$，如果当个小闭区域的直径中的最大值$\lambda$趋于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数$f(x,y)$闭区域$D$上的二重积分。
记作：${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\lim }_{\lambda \to 0}{\sum }_{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta {\sigma }_k$

4、二重积分的几何意义
类比定积分，表示对应曲顶柱体体积等

5、存在性定理
1）若函数在有界闭区域D上连续则函数在D上可积
2）若有界函数在有界闭区域D上除去有限个点或有限条光滑曲线外都连续

6、二（三）重积分的性质
1）线性性
2）区域可加性
3）保序性
4）估值性
5）中值性
6）对称性（最常用的性质，在计算二重积分前先考虑对称性，但切忌滥用）

10.2二重积分的计算

1）直角坐标
先x后y or 先y后x
2）极坐标
$d\sigma =\rho d\rho d\theta$

10.3三重积分的计算

1）直角坐标
投影法（先一后二） or 截面法（先二后一）【有时不适用，关键时候有用，一般情况不推荐】
2）柱坐标（个人直观感受：直角坐标+极坐标）
【本质上还是先一后二】
$x=\rho cos\theta$
$y=\rho sin\theta$
$z=z$
$dv=\rho d\rho d\theta dz$
3）球坐标（不常用，但对于球体计算十分简单）

$x=rsin\theta cos\phi$
$y=rsin\theta sin\phi$
$z=rcos\theta$
$dv=r^{2}sin\phi d\phi d\theta dr$

注意事项（重积分计算小结）

10.4重积分的应用

1、曲面的面积
$A={\iint }_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}d\sigma$

2、物体的质心
$\overline{x}=\frac{M_x}{M}=\frac{{\iint }_{D}x\mu d\sigma }{{\iint }_D\mu d\sigma }$(M表示力矩)
$\overline{y}=\frac{M_y}{M}=\frac{{\iint }_{D}y\mu d\sigma }{{\iint }_D\mu d\sigma }$
（形心）：
$\overline{x}=\frac{{\iint }_{D}xd\sigma }{A}$
$\overline{y}=\frac{{\iint }_{D}yd\sigma }{A}$
形心公式在计算积分是常可以巧妙的起到简化运算的作用，需重视！

3、物体的转动惯量
$I_x={\iint }_D{y}_2\mu d\sigma$
$I_y={\iint }_D{x}_2\mu d\sigma$

$I_x={\iiint }_D(y_2+z^2)\mu dv$
$I_y={\iiint }_D(x_2+z^2)\mu dv$
$I_z={\iiint }_D(y_2+x^2)\mu dv$

4、物体的引力(不常用)
$r=(x-x_0,y-x_0,z-z_0)$
$F={\iiint }_{\Omega }dF=(G{\iiint }_{\Omega }\frac{\mu (x-x_0)}{r^3}dv,G{\iiint }_{\Omega }\frac{\mu (y-y_0)}{r^3}dv,G{\iiint }_{\Omega }\frac{\mu (z-z_0)}{r^3}dv$

5、立体体积
$V={\iint }_{D}f<$